决胜2020年中考数学压轴题全揭秘 专题
03一元二次方程及应用
【考点1】一元二次方程的根的求值问题
【例1】（2019?兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（ ）
A．﹣2 【答案】A
【解析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0， 所以a+2b＝﹣1，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故选：A．
点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
B．﹣3
C．﹣1
D．﹣6
【变式1-1】（2019?遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的
值为（ ）
A．0 【答案】D
B．±1 C．1 D．﹣1
【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0， 则a的值为：a＝﹣1． 故选：D．
点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
【变式1-2】（2019?甘肃）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 【答案】A
【解析】把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k＝﹣1， 故选：A．
点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【考点2】配方法解一元二次方程
B．0
C．1或﹣1
D．2或0
【例2】（2019?南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2＝﹣9 【答案】D
【解析】方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9， 配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7， 故选：D．
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
B．（x+4）2＝﹣7
C．（x+4）2＝25
D．（x+4）2＝7
【变式2-1】（2019?金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 【答案】A
【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选：A．
点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【考点3】因式分解法解一元二次方程
B．（x﹣3）2＝14
C．（x﹣6）2＝44
D．（x﹣3）2＝1
【例3】（2019?桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 ．
【答案】x1＝3，x2＝2 【解析】x﹣3＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝3，x2＝2． 故答案为x1＝3，x2＝2．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式3-1】（2019?十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）
◎（m﹣3）＝24，则m＝ ． 【答案】﹣3或4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， （2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0， 2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0， 所以m1＝﹣3，m2＝4． 故答案为﹣3或4．
点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式3-2】（2019?扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是 ．
【答案】x1＝2，x2＝1． 【解析】x（x﹣2）＝x﹣2， x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0，x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1，
故答案为：x1＝2，x2＝1．
点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 【考点4】一元二次方程的判别式问题
【例4】（2019?铁岭）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围
是 ．
【答案】a＜4且a≠0
【解析】由题意可知：△＝64﹣16a＞0， ∴a＜4， ∵a≠0， ∴a＜4且a≠0， 故答案为：a＜4且a≠0
点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
【变式4-1】（2019?宁夏）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范
围 ． 【答案】k
．
【解析】∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0， 解得k
，
．
故答案为：k
点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
【变式4-2】（2019?黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根， ∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0， 解得：m≤2．
（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16， 解得：m＝1．
点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数