数学竞赛讲义之行程问题()

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

两艘轮船同时间从同一码头出发,并在完成任务后,沿原路返回。为了让“探索号”尽可能开出远的距离,“试验号”在行驶一段路程后,仅留下自己返回码头所需的淡水,把其他的淡水给“探索号”。求“探索号”所能到达的最远航程?

§7、其他问题

例84、龟兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米,乌龟不停的跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了1分钟然后玩15分钟,又跑了2分钟然后玩15分钟,再跑3分钟然后玩15分钟,??,那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 例题求解:乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟;

兔子如果不休息,则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟。

我们注意到兔子休息的规律是跑1、2、3??分钟后,休息15分钟 于是15.6分,试着表达成公差为1的等差数列和 1+2+3+4+5+0.6

有5个间隔,所以休息5×15=75分钟,

于是,兔子跑到终点所需时间为15.6+75=90.6分钟;

显然,兔子先到达,先乌龟104-90.6=14.6分钟。

例85、如下图,8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点。甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D向A走去,8时24分与乙在E点相遇;丁由D向C走去,8时30分在F点被乙追上,问三角形BEF的面积为多少平方米?

甲 乙 乙 乙 甲乙速度相同 丙丁速度相同 10分钟 AD 丙 4分钟 ED 14分钟 60+AE 丁 10分钟 DF 20分钟 60+AD+DF 10分钟 60+DF EDDF ?410AD60?AE60?DF ??101410 AD=(AE+ED)=60+DF 7(AE+ED)=5(60+AE)

5ED=2DF

AE=87,ED=18,DF=45

-11-

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

S△BEF=S四边形ABCD-S△ABE-S△EDF-S△FCB =60×(87+18)- =2497.5平方米

例86、某出租车的计价方式为:起价是2千米5元,往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元,如果从甲地到乙地先步行800米,然后再乘也要35元。问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱? 例题求解:35-5=30元,所以起价后付了30元,我们以起价后2元为1段。 又先走800,付的车费不变,所以,最后的一段路程为800~1000之间, 于是,全程为2+30÷2-1+~=16+~ 所以,半程为8+

11~,~为400~500米之间, 22111×60×87-×18×45-×15×60 222所以需支付5+(8-2+1)×2=19元。

例87、如果站在游泳池中用水拍打水面,就会有水波从拍打处向四周扩散,这时水波的速度仅仅和水的深度有关,如果游泳池的水深都一样的话,那么不管是站立打水,还是边走边打水、轻轻打水、水波的扩散速度都将是一样的,水波真是奇怪的东西。

在一个游泳池(水深都一样)里,放了一台10秒钟可以打出6个水波的机器。这台机器带有轮子,所以也可以一定的速度前进。水波是以每10秒钟12米的速度扩散。水波的最高处叫波峰,最低处叫波谷,请问:

1这台机器静止不动打水,从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是多少米? ○

2太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去,太郎在10秒钟内○

可以碰上几个波峰?(时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的)

3这回是机器以每10秒钟4米的速度超着站立不动的太郎边走边打水,太郎在10秒○

钟内可以碰上几个波峰?(时间的计算同上)

4太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走,太郎在10秒内可以碰上几个○

波峰?(时间的计算同上)

例题求解:1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散,在10秒内可产生6个水波。 12÷6=2米。

2、10秒钟内,开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米, 太郎前进了4米,其距离是12+4=16米,

在这16米之间,宽度是2米的波有16÷2=8(个), 这8个波太郎都能遇上。

3、波的速度不变,注意到相邻两个波之间宽度比原来小,就容易解决了。 10秒后机器前进了4米,初始的波,10秒后距机器现在的位置为12-4=8米, 由于波长生的速度没变,所以在10秒钟内产生的波都应在这个8米的距离之内。

-12-

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

因此,从运动着的机器那里产生的波的宽度是8÷6=

4, 3因为这个波是太郎原位未动时计数的。波的前进速度不变,10秒12米, 所以有12÷

4=9(个)。 34。同2一样,太郎也在走,所以他在16米之间3 4、同3,机器在动,所以波的宽度是可碰到的波的数量是16÷

4=12(个)。 3§8、非典型问题

1、数论类

例88、在一条环形公路上,n个车站被n段公路连结起来,车站所在地的高度有海拔50米和100米两种。相邻两车站若海拔高度相同,则它们之间的一段公路是水平的。否则是上坡路或下坡路。有一个乘客汽车在这条环形公路上逆时针方向兜了一圈,发现有坡公路的段数与水平公路的段数一样多,求证:4|n。

例题评述:此题其实只是与整除有些关联,我们上面所说的性质在此题中几乎用不到,之所以把它放在整除这一篇章里,想在一开始就提醒同学们要注意知识的全面性、知识的学以致用、知以致用。 例题求解:

记50米高站为L 记100米高站为H

水平公路的连结方式为line(L,L);

line(H,H)

有坡公路为line(L,H)

平路与有坡公路

line(L,H)=line(L,L)+line(H,H),

段相等 又因为每1站车站都连接2条公路

所以每条公路完全占有两个

1车站 2 1个2line(L,L)有x条 line(H,H)有y条

则line(L,H)有x+y条

1个L2所以在line(L,L)中有x×2×

在line(H,H)有y×2×

H站

共有y?x?y个H站 2

因为不管L、H都是整数 所以(x+y)为偶数,总车站数为L+H=2(x+y)=n 所以4|[n=2(x+y)]

例89、下图中有两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发,按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问:当小圆上甲虫爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远?

例题求解:我们知道,大小圆只有一个公共点(内切),而在圆上

-13-

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

最远的两点为直径两端,所以当一只甲虫在A点,另一只在过A的直径另一直径端点B, 所以在小圆甲虫跑了n圈,在大圆甲虫跑了m+于是小圆甲虫跑了30n,大圆甲虫跑了48(m+

1圈; 21)=48m+24 2因为速度相同,所以相同时内路程相同,起点相同, 所以30n=48m+24;

即5n=8m+4,有不定方城知识,解出有n=4,m=2, 所以小甲虫跑了2圈后,大小甲虫相距最远。

13例90、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳4米,黄鼠狼每次跳2米,它们每秒钟

243都只跳一次。比赛途中,从起点开始每隔12,设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱

8时,另一个跳了多少米?

9991399例题求解:我们求出狐狸与陷阱间隔的最小公倍数,[4,12]=[,]=

2228899311993 求出黄鼠狼与陷阱间隔最小公倍数,[2,12]=[,]=。

44488只要各自跑到各自最小公倍数时,就跳进陷阱, 所以,狐狸要跳

991993?4=11步;黄鼠狼要跳?2=9步。 224811所以黄鼠狼先掉进陷阱,于是,狐狸跳了4?9=40米。

222、益智类

例91、一条公共汽车线路,包括首尾两站共10站。首尾两站同时每隔3分相向发车一辆,

每辆汽车行驶一个单程需要27分。要保证首、尾两站随时都有车,至少需要多少辆汽车? 例题求解; 从首站发向尾站的车,第1辆到达时第10辆正准备发车,该方向共10辆车;

同理,相反方向也有10辆。 所以,共需要20辆车。

例92、某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站,全程要走20分。有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站,他出发时恰有一辆电车到达乙站,在路上他又迎面遇到了10辆电车,到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出。问:他从乙站到甲站用了多长时间?

例题求解:他一共看到12辆电车,他从乙站出发时第5辆电车正从甲站出发,他到达甲站时第12辆电车正从甲站出发,这中间共35分。

例93、长途汽车在甲、乙两地间运行,每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,单程需要三天时间,到达终点后,休整两天再按原路返回。为了保证这条线路上客运任务能正常进行,这条线路上至少应配备几辆客车

例题求解:一辆车两次从甲站出发间隔10天,所以需10辆车。

-14-

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

例94、A,B两地相距54千米,有18人共同骑7匹马由A地到B地去,每匹马每次只能驮1人,为了轮换休息,大家决定每人骑马行1千米轮换一次。问:每人骑马、步行各多少千米?

例题求解:7匹马共行54×7=378

即18人共骑马行378千米,

每人骑马行 378÷18=21,步行 54-21=33。 所以每人骑马21千米,步行33千米。

例95、四只甲虫A、B、C和D处于一个边长10厘米的正方形的四端。A对准B,B对准C,

C对准D,D对准A同时直接朝前爬。如果所有的甲虫的爬行速度都一样,那么,它们的爬行轨迹将是四条一样的螺旋曲线,最终相交于这个正方形的中心。

现在的问题是,当四只甲虫相聚时,它们各自爬了多长的距离? 这题需要富有想象力的思考,但不需要进行计算。

例题求解:

因为四只甲虫的爬行速度是一样的,所以在爬行的过程中,不管它们彼此间的距离如何变化,这四只甲虫始终处于一个

正方形的四个端点,随着甲虫间距离的缩短,这个正方形不断地旋转和缩小。因此,在任何时候,追赶的甲虫,例如甲虫A的运动方向,总是垂直于被追赶的甲虫B的运动方向。也就是说,被追赶的甲虫B的运动中,不包含离开或接近它的追赶者甲虫A的运动。换句话说,在上述互相追赶的过程中,甲虫B对于它的追赶者甲虫A来说,始终处于相对静止状态。因此,甲虫A在上述旋转的路线上赶上 甲虫B所需的时间,等于甲虫B处于静止状态时,甲虫A沿直线赶上甲虫B所需的时间。

所以不难得出结论,当四只甲虫相聚时,它们各自爬过的螺旋形路线的距离,等于原正方形的边长,即10厘米。

例96、有若干长短、粗细相同的绳子,如果从一端点点火,每根绳子正好8分钟燃尽。现在用这些绳子计量时间,比如:在一根绳子的两端同时点火,绳子燃尽用4分钟;在一根绳子的一段点火,燃尽的同时点燃第二根绳子的一端,可计时16分钟。

根据下列规则可否分别计量6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、11分钟、12分钟?请在下列表中回答,可以计量的画“○”,不可以计量的画“×”。

6分钟 7分钟 9分钟 10分钟 11分钟 12分钟 1计量一个时间,最多使用3条绳子。 规则:○

2只能在绳子的端部点火。 ○

3可同时在几个端部点火。 ○

4点的火中途不灭。 ○

5不许剪断绳子,或将绳子折起。 ○

例题求解:我们先确定三个绳子 绳1 绳2 绳3 A——a B——b C——c

1)、6分钟的方法是:在A、a、B处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时b处

-15-

奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编

点火,两个绳子都燃尽的时间就是6分钟。

2)、7分钟的方法是:在A、a、B、C处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽的同时在b处点火,两个绳子燃尽用6分钟,燃尽的同时再在C处点火,三根绳子燃尽的时间就是7分钟。

3)、9分钟的方法是:在A,a,B处同时点火,第一根绳子燃尽用4分钟,燃尽同时,在b、C处同时点火,到第二根绳子燃尽时间共用6分钟,燃尽的同时,在c处点火,三根绳子燃尽的时间就是9分钟。

4)、10分钟的方法是:在A、a、B处同时点火,第一根绳子燃尽的时间是4分钟,燃尽的同时在C处点火,到第二根绳子燃尽时一共用了8分钟,燃尽同时,再在c处点火,三根绳子燃尽的时间就是10分钟。

5)、12分钟的方法是:在A、a处同时点火,第一根绳子燃尽用了4分钟,燃尽的同时在B处点火,这两根绳子燃尽的时间就是12分钟。

这样做的话,就可以分别计量出6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、12分钟的时间,但是计量不出11分钟。

6分钟 ○

7分钟 ○ 9分钟 ○ 10分钟 11分钟 12分钟 ○ × ○ -16-

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4