奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
两艘轮船同时间从同一码头出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让“探索号”尽可能开出远的距离，“试验号”在行驶一段路程后，仅留下自己返回码头所需的淡水，把其他的淡水给“探索号”。求“探索号”所能到达的最远航程？
§7、其他问题
例84、龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑了2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟，??，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？ 例题求解：乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60＝104分钟；
兔子如果不休息，则需要时间5.2÷20×60＝15.6分钟。
我们注意到兔子休息的规律是跑1、2、3??分钟后，休息15分钟 于是15.6分，试着表达成公差为1的等差数列和 1＋2＋3＋4＋5＋0.6
有5个间隔，所以休息5×15＝75分钟，
于是，兔子跑到终点所需时间为15.6＋75＝90.6分钟；
显然，兔子先到达，先乌龟104-90.6＝14.6分钟。
例85、如下图，8时10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点。甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D向A走去，8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上，问三角形BEF的面积为多少平方米？
甲 乙 乙 乙 甲乙速度相同 丙丁速度相同 10分钟 AD 丙 4分钟 ED 14分钟 60＋AE 丁 10分钟 DF 20分钟 60＋AD＋DF 10分钟 60＋DF EDDF ?410AD60?AE60?DF ??101410 AD＝(AE＋ED)＝60＋DF 7(AE+ED)=5(60+AE)
5ED＝2DF
AE=87,ED=18,DF=45
-11-
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
S△BEF=S四边形ABCD-S△ABE-S△EDF-S△FCB =60×(87＋18)－ ＝2497.5平方米
例86、某出租车的计价方式为：起价是2千米5元，往后每增加1千米(最后不足1千米按1千米计算)增加2元。现从甲地到乙地乘出租车共支出车费35元，如果从甲地到乙地先步行800米，然后再乘也要35元。问从甲、乙两地中点乘出租车到乙地需支付多少元钱？ 例题求解：35－5＝30元，所以起价后付了30元，我们以起价后2元为1段。 又先走800，付的车费不变，所以，最后的一段路程为800～1000之间， 于是，全程为2＋30÷2－1＋～＝16＋～ 所以，半程为8＋
11～，～为400～500米之间， 22111×60×87－×18×45－×15×60 222所以需支付5＋(8－2+1)×2＝19元。
例87、如果站在游泳池中用水拍打水面，就会有水波从拍打处向四周扩散，这时水波的速度仅仅和水的深度有关，如果游泳池的水深都一样的话，那么不管是站立打水，还是边走边打水、轻轻打水、水波的扩散速度都将是一样的，水波真是奇怪的东西。
在一个游泳池(水深都一样)里，放了一台10秒钟可以打出6个水波的机器。这台机器带有轮子，所以也可以一定的速度前进。水波是以每10秒钟12米的速度扩散。水波的最高处叫波峰，最低处叫波谷，请问：
1这台机器静止不动打水，从一个波峰到另一个相邻的波峰的距离是多少米？ ○
2太郎以每10秒钟4米的速度面向正在静止站立打水的机器走去，太郎在10秒钟内○
可以碰上几个波峰？(时间的计算是一个波谷正好到太郎的面前开始的)
3这回是机器以每10秒钟4米的速度超着站立不动的太郎边走边打水，太郎在10秒○
钟内可以碰上几个波峰？(时间的计算同上)
4太郎和机器分别以每10秒钟4米的速度面对面地走，太郎在10秒内可以碰上几个○
波峰？(时间的计算同上)
例题求解：1、一瞬间产生的波以每10秒钟12米的速度扩散，在10秒内可产生6个水波。 12÷6＝2米。
2、10秒钟内，开始计数时的波谷从太郎原先的位置前进了12米， 太郎前进了4米，其距离是12＋4＝16米，
在这16米之间，宽度是2米的波有16÷2＝8(个)， 这8个波太郎都能遇上。
3、波的速度不变，注意到相邻两个波之间宽度比原来小，就容易解决了。 10秒后机器前进了4米，初始的波，10秒后距机器现在的位置为12－4＝8米， 由于波长生的速度没变，所以在10秒钟内产生的波都应在这个8米的距离之内。
-12-
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
因此，从运动着的机器那里产生的波的宽度是8÷6＝
4， 3因为这个波是太郎原位未动时计数的。波的前进速度不变，10秒12米， 所以有12÷
4＝9(个)。 34。同2一样，太郎也在走，所以他在16米之间3 4、同3，机器在动，所以波的宽度是可碰到的波的数量是16÷
4＝12(个)。 3§8、非典型问题
1、数论类
例88、在一条环形公路上，n个车站被n段公路连结起来，车站所在地的高度有海拔50米和100米两种。相邻两车站若海拔高度相同，则它们之间的一段公路是水平的。否则是上坡路或下坡路。有一个乘客汽车在这条环形公路上逆时针方向兜了一圈，发现有坡公路的段数与水平公路的段数一样多，求证：4|n。
例题评述：此题其实只是与整除有些关联，我们上面所说的性质在此题中几乎用不到，之所以把它放在整除这一篇章里，想在一开始就提醒同学们要注意知识的全面性、知识的学以致用、知以致用。 例题求解：
记50米高站为L 记100米高站为H
水平公路的连结方式为line(L,L)；
line(H,H)
有坡公路为line(L,H)
平路与有坡公路
line(L,H)＝line(L,L)＋line(H,H)，
段相等 又因为每1站车站都连接2条公路
所以每条公路完全占有两个
1车站 2 1个2line(L,L)有x条 line(H,H)有y条
则line(L,H)有x+y条
1个L2所以在line(L,L)中有x×2×
站
在line(H,H)有y×2×
H站
共有y?x?y个H站 2
因为不管L、H都是整数 所以(x+y)为偶数，总车站数为L＋H＝2(x+y)=n 所以4|[n=2(x+y)]
例89、下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？
例题求解：我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上
-13-
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B， 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋
1圈； 21)＝48m＋24 2因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以30n＝48m＋24；
即5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有n＝4，m＝2， 所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。
13例90、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟
243都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12，设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱
8时，另一个跳了多少米？
9991399例题求解：我们求出狐狸与陷阱间隔的最小公倍数，[4，12]＝[，]＝
2228899311993 求出黄鼠狼与陷阱间隔最小公倍数，[2，12]＝[，]＝。
44488只要各自跑到各自最小公倍数时，就跳进陷阱， 所以，狐狸要跳
991993?4＝11步；黄鼠狼要跳?2＝9步。 224811所以黄鼠狼先掉进陷阱，于是，狐狸跳了4?9＝40米。
222、益智类
例91、一条公共汽车线路，包括首尾两站共10站。首尾两站同时每隔3分相向发车一辆，
每辆汽车行驶一个单程需要27分。要保证首、尾两站随时都有车，至少需要多少辆汽车？ 例题求解; 从首站发向尾站的车，第1辆到达时第10辆正准备发车，该方向共10辆车；
同理，相反方向也有10辆。 所以，共需要20辆车。
例92、某路电车每隔5分从甲站发一辆电车到乙站，全程要走20分。有一个人从乙站出发沿电车线路前往甲站，他出发时恰有一辆电车到达乙站，在路上他又迎面遇到了10辆电车，到达甲站时恰有一辆电车从甲站开出。问：他从乙站到甲站用了多长时间？
例题求解：他一共看到12辆电车，他从乙站出发时第5辆电车正从甲站出发，他到达甲站时第12辆电车正从甲站出发，这中间共35分。
例93、长途汽车在甲、乙两地间运行，每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车，单程需要三天时间，到达终点后，休整两天再按原路返回。为了保证这条线路上客运任务能正常进行，这条线路上至少应配备几辆客车
例题求解：一辆车两次从甲站出发间隔10天，所以需10辆车。
-14-
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
例94、A，B两地相距54千米，有18人共同骑7匹马由A地到B地去，每匹马每次只能驮1人，为了轮换休息，大家决定每人骑马行1千米轮换一次。问：每人骑马、步行各多少千米？
例题求解：7匹马共行54×7=378
即18人共骑马行378千米，
每人骑马行 378÷18=21，步行 54－21=33。 所以每人骑马21千米，步行33千米。
例95、四只甲虫A、B、C和D处于一个边长10厘米的正方形的四端。A对准B，B对准C，
C对准D，D对准A同时直接朝前爬。如果所有的甲虫的爬行速度都一样，那么，它们的爬行轨迹将是四条一样的螺旋曲线，最终相交于这个正方形的中心。
现在的问题是，当四只甲虫相聚时，它们各自爬了多长的距离? 这题需要富有想象力的思考，但不需要进行计算。
例题求解：
因为四只甲虫的爬行速度是一样的，所以在爬行的过程中，不管它们彼此间的距离如何变化，这四只甲虫始终处于一个
正方形的四个端点，随着甲虫间距离的缩短，这个正方形不断地旋转和缩小。因此，在任何时候，追赶的甲虫，例如甲虫A的运动方向，总是垂直于被追赶的甲虫B的运动方向。也就是说，被追赶的甲虫B的运动中，不包含离开或接近它的追赶者甲虫A的运动。换句话说，在上述互相追赶的过程中，甲虫B对于它的追赶者甲虫A来说，始终处于相对静止状态。因此，甲虫A在上述旋转的路线上赶上 甲虫B所需的时间，等于甲虫B处于静止状态时，甲虫A沿直线赶上甲虫B所需的时间。
所以不难得出结论，当四只甲虫相聚时，它们各自爬过的螺旋形路线的距离，等于原正方形的边长，即10厘米。
例96、有若干长短、粗细相同的绳子，如果从一端点点火，每根绳子正好8分钟燃尽。现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子的两端同时点火，绳子燃尽用4分钟；在一根绳子的一段点火，燃尽的同时点燃第二根绳子的一端，可计时16分钟。
根据下列规则可否分别计量6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、11分钟、12分钟？请在下列表中回答，可以计量的画“○”，不可以计量的画“×”。
6分钟 7分钟 9分钟 10分钟 11分钟 12分钟 1计量一个时间，最多使用3条绳子。 规则：○
2只能在绳子的端部点火。 ○
3可同时在几个端部点火。 ○
4点的火中途不灭。 ○
5不许剪断绳子，或将绳子折起。 ○
例题求解：我们先确定三个绳子 绳1 绳2 绳3 A——a B——b C——c
1)、6分钟的方法是：在A、a、B处同时点火，第一根绳子燃尽用4分钟，燃尽的同时b处
-15-
奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编
点火，两个绳子都燃尽的时间就是6分钟。
2)、7分钟的方法是：在A、a、B、C处同时点火，第一根绳子燃尽用4分钟，燃尽的同时在b处点火，两个绳子燃尽用6分钟，燃尽的同时再在C处点火，三根绳子燃尽的时间就是7分钟。
3)、9分钟的方法是：在A，a，B处同时点火，第一根绳子燃尽用4分钟，燃尽同时，在b、C处同时点火，到第二根绳子燃尽时间共用6分钟，燃尽的同时，在c处点火，三根绳子燃尽的时间就是9分钟。
4)、10分钟的方法是：在A、a、B处同时点火，第一根绳子燃尽的时间是4分钟，燃尽的同时在C处点火，到第二根绳子燃尽时一共用了8分钟，燃尽同时，再在c处点火，三根绳子燃尽的时间就是10分钟。
5)、12分钟的方法是：在A、a处同时点火，第一根绳子燃尽用了4分钟，燃尽的同时在B处点火，这两根绳子燃尽的时间就是12分钟。
这样做的话，就可以分别计量出6分钟、7分钟、9分钟、10分钟、12分钟的时间，但是计量不出11分钟。
6分钟 ○
7分钟 ○ 9分钟 ○ 10分钟 11分钟 12分钟 ○ × ○ -16-