学习三角函数的单调性的基本方法

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求三角函数的单调性的基本方法:

函数

y?Asin(?x??)?k的单调区间的确定,首先要看A、ω是否为正,若ω为

?2负,则先应用诱导公式化为正,然后将ωx+φ看作一个整体,化为最简式,再结合A的正负,在2k???2?x?2k??,k?z和2k???3?x?2k???,k?z两个区间内分别确定函数的22单调增减区间。

?1y?sin(?x)1、求函数32在区间[-2π,2π]的单调增区间。

解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(y?Asin(?x??),A?0,??0)的形式:

?11?y?sin(?x)??sin(x?)3223⑵把标准函数转化为最简函数(

y?Asinx)的形式:

1?1?y??sin(x?)??sinzz?x?23令 23,原函数变为

⑶讨论最简函数从函数

y??sinz的单调性:

y??sinz的图像可以看出,

y??sinz的单调增区间为,

[2k???3?3,2k???]K??。所以2K???z?2K???22,22?2?1?3x??2K???, K?? 232K??

2K??即

5114K????x?4K???, K?? ∴33⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间:

511??x??

当k=0时,332223??x?? 当k=1时,3371???x???

当k=-1时,33⑸在要求的区间内[-2π,2π]确定函数的最终单调增区间:

.

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因为x?[?2?,2?],所以该函数的单调增区间为

1?2??x???3 2、数

5??x?2?3

求函

y?2sin(?2x)在区间[0,π]的单调增区间。

6解:⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数(y??Asin(?x??),A?0,??0)的形式:

??y?sin(?2x)??sin(2x?)66

⑵把标准函数转化为最简函数(

y?Asinx)的形式:

?y??sin(2x?)??sinzz?2x?66,原函数变为令

y??sinz?⑶讨论最简函数从函数

的单调性:

y??sinz的图像可以看出,

y??sinz的单调增区间为

?33[2k??,2k???]K??。所以2K???z?2K???,K??

2222,

?即2K??.

?2?2x??3?2K???62,

K??

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15K????x?K???, K?? ∴

36⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间:

15当k=0时,??x??36411??x?? 当k=1时,33

21当k=-1时,???x???

36⑸在要求的区间内[0,π]确定函数的最终单调增区间:

15因为x?[0,?],所以该函数的单调增区间为??x??36

1?y?sin(x?)3、求函数23在区间[-2π,2π]的单调增区间。

解:

⑴把标准函数转化为最简函数(

y?Asinx)的形式:

1?1?y?sin(x?)?sinzz?x?2323,原函数变为令

⑵讨论最简函数

y??sinz的单调性:

从函数

.

y??sinz的图像可以看出,

y??sinz的单调增区间为

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