1.1.2 变化率问题
一、学习要求
1．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时加速度； 2.理解并掌握导数的概念，学会求函数在某一点处导数的方法。 二、先学后讲 1．瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 物体在
时刻的瞬时速度
就是运动物体在
到
这段时间内的平均变化率
，当时的极限，即
v?lim2．瞬时加速度
S(t0??t)?S(t0)?S?lim。
?t?0?t?t?0?t运动物体速度的平均变化率，当时，无
限趋近于一个常数，这个常数称为物体在时的瞬时加速度，即
a?lim3．瞬时变化率
函数
在
v(t??t)?v(t0)?v?lim0。
?t?0?t?t?0?t处的瞬时变化率是：
f(x0??x)?f(x0)?y?lim。
?x?0?x?x?0?xlim4．导数的概念
函数
在
处的瞬时变化率是：
f(x0??x)?f(x0)?y?lim，
?x?0?x?x?0?xlim称它为函数
在
处的导数。记为f?(x0)或y?|x?x0，即
f?(x0)=y?|x?x0= lim【要点说明】
f(x0??x)?f(x0)?y?lim。
?x?0?x?x?0?x（1）函数化率，也就是函数
（2）物体的位移
在某一点
在区间
处的导数就是函数
上的平均变化率当
在处的瞬时变时的值；
关于时间
关于时间的导数是物体的瞬时速度；物体运动的速度
的导数是物体的瞬时加速度。
（3）用导数的定义求函数在某一点
处的导数的步骤：
①求平均变化率：
②取极限，得导数f?(x0)?lim （4）在平均变化率形式可以变化，如变成
，
等，即
；
f(x0??x)?f(x0)?y?lim 。
?x?0?x?x?0?x中，
是常数，
是可以趋近于0的变量，其
。
三、问题探究 ■合作探究 例1．质点按规律时的瞬时速度为解：设质点在
做直线运动（位移单位：,时间单位：），若质点在
，则常数
。 （答案：2） ，则位移的增量为：
，
∴∴质点在∴例2．函数
解：f?(0)?lin，
， ，
时的瞬时速度为v?lim。
在
处的导数值f?(0)?。
附近的时间变化量为
?S?lim(4a?a?t)?4a，
?t?0?t?t?0?x?0f(0??x)?f(0)f(0??x)?f(0)f(?x)?lin?lin ?x?0?x?0?x?x?x?lin
■自主探究 1. 已知函数
【解析】lim
?x(2??x)?lin(2??x)?2。
?x?0?x?0?x可导且f?(1)?1，则lim?x?0f(1??x)?f(1)???x。
?x?0f(1??x)?f(1)?f?(1)?1。
??x2．一个物体的运动方程是秒末的瞬时速度是【解析】v?lim
四、总结提升
. ,其中单位是米，的单位是秒，则物体在3
?SS(3??t)?S(3)?lim?lim(?t?7)?7。
?t?0?t?t?0?t?0?t本节课你主要学习了 。 五、问题过关 1. 已知函数
f(1??x)?f(1)?。
?x?0?xf(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)??lim??f?(1)??1。 【解析】lim?x?0?x?0?x??x可导且f?(1)?1，则lim
2．某一做直线运到的物体，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是则物体的初速度是
【解析】初速度就是
。
时的瞬时速度，根据瞬时速度的定义，知
，
v?lim?SS(0??t)?S(0)?lim?lim(3??t)?3
?t?0?t?t?0?t?0?t。
∴该物体的初速度是