导数及其应用习题精选
一、选择题
1.直线y?x是曲线y?a?lnx的一条切线，则实数a的值为( )
A．?1 B．e C．ln2 D．1
32
2、函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5 π2
3．在曲线y＝x上切线的倾斜角为的点是( )
4
A．(0,0)
2
B．(,) C.(,112411) D.(2,4) 4164.若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 5．函数f?x?的定义域为?a,b?，导函数f??x?在?a,b?内的图像如图所示， 则函数f?x?在?a,b?内有极小值点( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.f?(x0)?0是函数f?x?在点x0处取极值的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
1322
7. 已知三次函数f(x)＝x－(4m－1)x＋(15m－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值
3范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4?m?－2 C．2 28.设曲线y?x?1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数y?g(x)cosx的部分图象可以为( ) y O x y O x y O x O y x A. B. C. D. 9. 若函数f(x)?x?12x在区间(k?1,k?1)上不是单调函数，则实数k的取值范围（ ） A．k??3或?1?k?1或k?3 B．?3?k??1或1?k?3 C．?2?k?2 D．不存在这样的实数k 3210.已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，则 f(1)的最小值为( ) f'(0)A．3 B． 第1页（共5页） 53 C．2 D． 22二、填空题 11.函数y?x?2cosx在区间[0,?2]上的最大值是 12、已知函数f(x)?x3?ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 13．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?a2在x=1处有极值为10，则f(2)等于__________. 14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)?0，当x?0时，xf?(x)?f(x)，则不等式 x2f(x)?0的解集是 三、解答题: 15. 设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1, 0 216. 已知函数f(x)?lnx?x?bx.若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； 17. 设函数f(x)?x3?6x?5,x?R. （1）求f(x)的单调区间和极值； （2）若关于x的方程f(x)?a有3个不同实根，求实数a的取值范围. （3）已知当x?(1,??)时,f(x)?k(x?1)恒成立，求实数k的取值范围. 18. 已知x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中m?0, n?R. （1）求m与n的关系式； （2）求f(x)的单调区间； （3）当x?[?1,1]，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。 x2,g(x)?2alnx(e为自然对数的底数） 19. 已知函数f(x)?e （1）求F(x)?f(x)?g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值； （2）是否存在正常数a，使f(x)与且在该公共点处有共同的切线？g(x)的图象有且只有一个公共点， 若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。 第2页（共5页） 《导数及其应用》参考答案 一、选择题： 1-10：D D B A A B D A B C 二、填空题： 11. ?6?3 ； 12. {a|a?0} 13. 18； 14.(?1,0)?(1,??) 三、解答题 π 15. [解析] f′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sin(x＋)＋1 (0 4 π2令f′(x)＝0，即sin(x＋)＝－， 423 解之得x＝π或x＝π. 2 x，f′(x)以及f(x)变化情况如下表： 3x π (0，π) (π，π) 20 f′(x) ＋ － f(x) 递增 π＋2 递减 3π 20 3π 23(π，2π) 2＋ 递增 33∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(π，2π)单调减区间为(π，π)． 2233π f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(π)＝. 2216.由题意：f(x)?lnx?x2?bx，?f(x)在(0,??)上递增，?f?(x)?恒成立，即b?1?2x?b?0对x?(0,??)x11?2x对x?(0,??)恒成立，?只需b?(?2x)min， xx?x?0，?12?2x?22，当且仅当x?时取“=”，?b?22，?b的取值范围为(??,22) x217. 解:（1）f?(x)?3(x2?2),令f?(x)?0,得x1??2,x2?2 …………………1分 ∴当x??2或x?2时,f?(x)?0;当?2?x?2时,f?(x)?0，…………………2分 ∴f(x)的单调递增区间是(??,?2)和(2,??)，单调递减区间是(?2,2)……3分 当x??2,f(x)有极大值5?42；当x?2,f(x)有极小值5?42.…………4分 （2）由（1）可知y?f(x)图象的大致形状及走向（图略） ∴当5?42?a?5?42时,直线y?a与y?f(x)的图象有3个不同交点，……6分 即当5?42?a?5?42时方程f(x)?a有三解. …………………………………7分 （3）f(x)?k(x?1)即(x?1)(x?x?5)?k(x?1) ∵x?1,?k?x?x?5在(1,??)上恒成立. …………………………………………9分 第3页（共5页） 22