高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)

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11636?AC?GD?BE?x?, 解得x =2. 32243∴VE?ACD?由BA=BD=BC可得AE= ED=EC=6.

∴ΔAEC的面积为3,ΔEAD的面积与ΔECD的面积均为5.

所以三棱锥E-ACD的侧面积为3+25. …12分 18. 解析 (1)因为BE?平面ABCD,所以BE?AC.

又ABCD为菱形,所以AC?BD.

又因为BDBE?B,BD,BE?平面BED,

所以AC?平面BED.又AC?平面AEC,所以平面AEC?平面BED. (2)在菱形ABCD中,取AB?BC?CD?AD?2x, 又?ABC?120,所以AG?GC?3x,BG?GD?x. 在△AEC中,?AEC?90,所以EG?所以在Rt△EBG中,BE?1AC?3x, 2EG2?BG2?2x,

11636V???2x?2x?sin120?2x?x?所以E?ACD,解得x?1.

3233在Rt△EBA,Rt△EBC,Rt△EBD中, 可得AE?EC?ED?6.

所以三棱锥的侧面积S侧?2??2?5?

121?6?6?3?25. 2【2014,19】如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO?平面BB1C1C.

(1)证明:B1C?AB;

(2)若AC?AB1,?CBB1?60?,BC?1,求三棱柱ABC?A1B1C1的高. 证明:(Ⅰ)连接 BC1,则O为B1C与BC1的交点,

∵AO⊥平面BB1C1C. ∴AO⊥B1C, …2分 因为侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,…4分

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∴BC1⊥平面ABC1,∵AB?平面ABC1,

故B1C⊥AB. …6分

(Ⅱ)作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,∵AO⊥BC,∴BC⊥平面AOD, 又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面AOD,交线为AD, 作OH⊥AD,垂足为H,∴OH⊥平面ABC. …9分

3∵∠CBB1=60°,所以ΔCBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=,

4711由于AC⊥AB1,∴OA?B1C?,∴AD?OD2?OA2?,

42221由 OH·AD=OD·OA,可得OH=,又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC 的距

142121离为,所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分

77另解(等体积法):∵∠CBB1=60°,所以ΔCBB1为等边三角形,又BC=1,

3211可得BO=,由于AC⊥AB1,∴OA?B1C?,∴AB=1,AC=,…9分

22221227则等腰三角形ABC的面积为?,设点B1到平面ABC的距离为d,?12?()2?224873121d??,解得d?由VB1-ABC=VA-BB1C得, 842721所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 …12分

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【2013,19】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

证明:(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形, 所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.

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(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形, 所以OC=OA1=3.

2又A1C=6,则A1C2=OC2+OA1,

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又△ABC的面积S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.

【2012,19】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,?ACB?90?,AC=BC=的中点.

(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【解析】(1)在Rt?DAC中,AD?AC, 得:?ADC?45?,

?? 同理:?A1DC1?45??CDC1?90,

1AA1,D是棱AA12C1A1B1DCB 得:DC1?DC.

由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1所以BC?平面ACC1A1.

又DC1?平面ACC1A1,所以DC1?BC 而DCAAC?C,

BC?C,所以DC1?平面BDC.

又DC1?平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)由已知AC=BC=

1AA1,D是棱AA1的中点, 212a?2a?a3. 2 设AA1?2a,AC?BC?AD?a,则VABC?A1B1C1?

由(1),BC?平面ACC1A1,所以BC为四棱锥B?ACC1D的高, 所以VB?ACC1D?111?(?3a?a)?a?a3. 322 因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为

VABC?A1B1C1?VB?ACC1DVB?ACC1D1a3?a32?1. ?131a2【2011,18】如图所示,四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为平行四边形,?DAB?60,AB?2AD,

PD?底面ABCD. (1)证明:PA?BD;

(2)若PD?AD?1,求棱锥D?PBC的高.

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【解析】(1)因为?DBA?60,AB?2AD,由余弦定理得BD?3AD, 从而BD2?AD2?AB2,故BD?AD,又PD?底面ABCD,可得BD?PD. 所以BD?平面PAD,故PA?BD.

(2)如图所示,作DE?PB,垂足为E.已知PD?底面ABCD,则PD?BC. 由(1)知BD?AD,又BC∥AD,所以BC?BD. 故BC?平面PBD,BC?DE,则DE?平面PBC. 因为AD?1,AB?2,?DAB?60, 所以BD?3,又PD?1,所以PB?2.

33,即棱锥D?PBC的高为.

22根据DE?PB?PD?BD,得DE?

【2018,18】如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA。 (3) 证明:平面ACD⊥平面ABC;

(4) Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积。

18.解:(1)由已知可得,?BAC=90°,BA⊥AC.

又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC, 所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.

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