第41讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
课时达标
一、选择题
1．直线l的方程为3x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( ) A．150° C．60°
B．120° D．30°
3
，设直线l3
A 解析 由直线l的方程为3x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－
3
，所以α＝150°.故选A. 3
2．过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为( ) A．x－y－3＝0 B．2x－5y＝0
C．2x－5y＝0或x－y－3＝0 D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝0
C 解析 直线l的斜率存在且不等于0，设l：y－2＝k(x－5)，则l在x轴上的截距为
?－2＋5，0?，在y轴上的截距为(0，－5k＋2)．由题意得－2＋5＋2－5k＝0，所以k＝1或?k?k??
2
，即l为2x－5y＝0或x－y－3＝0.故选C. 5
3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1 D 解析 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( ) A．(1，－2) C．(－1,2) B．(1,2) D．(－1，－2) A 解析 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)． 5．(2019·陕西师大附中月考)如果AB＞0，且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过的象限是( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 C 解析 直线Ax＋By＋C＝0的斜率k＝－＜0，在y轴上的截距为－＞0，所以直线不经过第三象限． 6．设点 A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是( ) 5??4??A.?－∞，－?∪?，＋∞? 2??3?? ABCB?45?B.?－，? ?32??54?C.?－，? ?23? 4??5??D.?－∞，－?∪?，＋∞? 3??2?? B 解析 易知直线ax＋y＋2＝0恒过点 M(0，－2)，且斜率为－a. 3－－5 因为kMA＝＝－， －2－02 kMB＝ 2－－3－04＝， 3 54 由图可知－a＞－且－a＜， 23 ?45?所以a∈?－，?. ?32? 二、填空题 7．直线l过原点且平分?ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________． 解析 直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过BD的中点(3,2)，则直线l：y2＝x. 3 2 答案 y＝x 3 8．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 5xy解析 当直线过原点时，直线方程为y＝－x；当直线不过原点时，设直线方程为＋3a－a＝1，即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0. 5 答案 y＝－x或x－y＋8＝0 3 9．若 ab>0，且 A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________． 解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，－2－2 故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0.根据基本不等式ab＝－2(axyabab＋b)≥4ab，可得ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时，等号成立．故ab的最小值为16. 答案 16 三、解答题 10．已知点A(3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解析 (1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以4 直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3 xy34 ②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1.又点(3,4)在直线上，所以＋＝1，所以aaaaa＝7.所以直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0. (2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0. 11．(2019·临川一中月考)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围． 解析 (1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．