同理，BB12=
11(a2+b2+c2)-4R2+r2，CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有22AA1=BB1=CC1.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，
△CDA的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF
中点P是△ABC之内心.
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知
rAQ=.
sin? ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=
MQ?QN(2R?r)?r==sin??(2R?r). r/sin?AQ 由Rt△EPQ知PQ=sin??r.
∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆
半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
1111∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c)=[(a+b)2-c2] =ab；
224211(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)
22- 21 -
121[c-(a-b)2]=ab. 42∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.
1而r=(a+b-c)=p-c.∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
2=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△
ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.
=
证明：
r1rr·2=. q1q2q分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·sinA' 2A'B'B'sin?sinsinA'22， 2 =A′B′··sin =A′B′·
A'?B'2sin?A'O'B'sin2A'B'coscos22. O′E= A′B′·
A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴O'E22亦即有
r1rA?CMA?CNBBABrtgtg =tgtg=. ·2=tgtg222222qq1q2六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，
BE，CF三条对角线交于一点；