第节 曲线与方程
.（辽宁理）如图，抛物线作的切线，切点为
（为原点时，
重合于）.当
.点
题型 求动点的轨迹方程
在抛物线上，过
时，切线
的斜率为
.
（）求的值；
（）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（点为）.
.（ 湖北理 ）（满分分）在平面直角坐标系的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为. （）求轨迹为的方程； （）设斜率为的直线过定点点时的相应取值范围. .（ 广东理 ）（分）已知椭圆（）求椭圆的标准方程； （）若动点
.（
在平面直角坐标系中，当
重合于时，中
中，点到点
.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共
的一个焦点为，离心率为，
为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.
四
川
不是原点时，定义的“伴随点”为
理
）
，当是原点
时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点. ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称. ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .
.①，若令错误；
对于
②
则其伴随点为
，而
③
的伴随点为
解析对于，而不是，故
②，令单位圆上点的坐标为②正确；
，其伴随点为仍在单位圆上，故
对于③，设曲线
关于轴对称，则
对曲线
表示同一曲线，其伴随
曲线分别为伴随曲线分别为
与
与也表示同一曲线，又因为其
的图像关于轴对称，所以③正确；对于
④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④
错误.所以正确的序号为②③. .（全国乙理（））设圆交圆于，两点，过作（）证明
的平行线交
于点.
的圆心为，直线过点
且与轴不重合，
为定值，并写出点的轨迹方程.
，半径
，
.解析 ()如图所示，圆的圆心为
因为于是又
，所以
，所以
.又因为
.故
，所以，
为定值.
，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
由，，得.故点的轨迹的方程为.
.（全国丙卷）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于，两点，交的准线于，两点. （）若在线段（）若
上，是的面积是
，
的中点，证明
的面积的两倍，求
及，所以
；
中点的轨迹方程. ，得
，所以
，
，所以
.解析()连接，，由
.因为是中点，
，
，又
所以，所以（等角的余角相等），所以.
()设，，准线为，，设直线与轴交点为，，因为，所以，得，即． 设中点为， 由，得，即. 又，所以，即．
易知当直线不存在时，点也满足此方程， 所以中点轨迹方程为. .（
全
国
卷
理
科
yAPROQBFx（））设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足. （）求点的轨迹方程； ．解析（）设点，易知，，又， 所以点.又在椭圆上，所以，即．