定积分和微积分

知识点一:定积分的概念

如果函数区间

在区间

上连续,用分点

上任取一点

(i=1,2,3?,n),作和式

分为n个小区间,在每个小区间

,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫

做在区间上的定积分.记作.即=,这里,

叫做被积函数,

与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分变量, 说明:

叫做被积式.

叫做积分区间,函数

(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;

(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.

知识点二:定积分的几何意义

设函数 在线

在区间上,当与

上连续.

时,定积分在几何上表示由曲线以及直

轴围成的曲边梯形的面积;

在边梯形位于

上,当

轴下方,定积分

时,由曲线

以及直线

轴围成的曲

在几何上表示曲边梯形面积的相反数;

上,当

既取正值又取负值时,曲线

的某些部分在

轴的上方,

而其他部分在轴下方,如果我们将在形的面积赋予负号;

轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图

在一般情形下,定积分的几何意义是曲线与轴所围成的各部分面积的代数和.

,两条直线

知识点三:定积分的性质

(1) (2) (3)

为常数),

(其中

),

(4)利用函数的奇偶性求积分: 若函数 若函数

在区间在区间

上是奇函数,则上是偶函数,则

.

知识点四:微积分基本定理

微积分基本定理(或牛顿-莱布尼兹公式): 如果其中

在叫做

上连续,且的一个原函数.

,则

注意:

①求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函

数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算. ②由于

也是

轴(即直线

)及一条曲

的原函数,其中c为常数.

知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图,由三条直线线 (

)围成的曲边梯形的面积:

2.如图,由三条直线线 (

)围成的曲边梯形的面积:

轴(即直线

)及一条曲

3.由三条直线上

)围成的图形的面积:

轴及一条曲线

(不妨设在区间

在区间

4. 如图,由曲线成图形的面积:

=+

及直线

.

知识点六:定积分在物理中的应用

①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程区间

上的定

.

,等于其速度函数在时间

积分,即 ②变力作功 物体在变力移动到

的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从

,那么变力所作的功.

规律方法指导

1.如何正确理解定积分的概念 定积分是一个数值(极限值),它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即不变性),另外定积分

(称为积分形式的

与积分区间[a,b]息息相关,不同的积分区间,定积分的

的几何意义

的值就不同。

积分上下限不同,所得的值也就不同,例如 2.

由于被积函数

在闭区间[a,b]上可正可负,也就是它的图像可以在x轴上方,也

可以x轴下方,还可以在x轴的上下两侧,所以直线线

(a≠b)与

表示由x轴,曲线及

轴所围成的各部分面积的代数和;而

表示在区间[a,b]上所有以,两条直线

是非负的,曲

为曲边的

在x轴上方,所以

正曲边梯形的面积,等于曲线轴所围成的各部分面

积的绝对值的和;而是的绝对值,三者的值在一般情况下是不相同的。

3.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤:

(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; (2)解方程组求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)借助图形确定出被积函数; (4)写出平面图形的定积分表达式; (5)运用公式求出平面图形的面积.

类型一:利用定积分的几何定义求定积分

1.说明定积分

所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。

解析:设,则,表示半径为2的个圆,

由定积分的概念可知,表示如图所示的以2为半径的圆的面积,

所以

总结升华:利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。 举一反三:

【变式1】由____________;

,,以及轴围成的图形的面积写成定积分是

【答案】

【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积(不计算)

(1) (2)

【答案】(1),(2)

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