定积分和微积分

【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。 (1) 【答案】 (1)设

; (2)

则积,

表示由直线,,以及轴围成的梯形的面

该梯形面积为 ∴ (2)设

则表示由直线,,所以

,以及。

轴围成的矩形的面积,

该矩形面积为

【变式4】利用定积分的几何定义求定积分: (1) 【答案】

; (2)

(1)设,则表示个圆,

由定积分的概念可知,所求积分就是圆的面积,

所以 (2)设边形,

,则

表示如图的曲

其面积,

故.

类型二:运用微积分定理求定积分

2.运用微积分定理求定积分

(1), (2), (3)

思路点拨: 根据求导函数与求原函数互为逆运算,找到被积函数的一个原函数,利用微积分基本定理求解. 解析:

(1)∵ (2)∵

,∴

,∴

(3)∵,∴.

总结升华:求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得的原函数

。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求

即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

有时需要将原式化简后再求解,有时不易找到原函数定积分的几何定义).

举一反三:

【变式1】计算下列定积分的值:

,此时可以用其他方法(如:

(1) 【答案】 (1)∵

; (2); (3).

∴;

(2)∵,

∴ (3)∵

.

【变式2】计算下列定积分的值:

(1) 【答案】

, (2), (3)

(1)

(2)

(3)

类型三:运用积分的性质求定积分

3.求定积分:;

思路点拨:对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分,根据定积分对区间的可加性,对给定的积分区间适当分成几个积分区间,计算各个积分,最后求和,得出结果. 解析:

++

=;

总结升华:对于图形由两部分组成的函数在求积分时,应注意用性质

+进行化简.对于含绝对值的函数求积分,一般先把绝对值号去掉,

写成分段函数,合理地确定积分区间,再进行积分.

举一反三: 【变式1】设

是连续函数,若

,则

____________; 【答案】

【变式2】已知函数 【答案】

++

,计算

.

=+

=.

4.求定积分:

思路点拨: 利用定积分的性质求解 解析:∵

是奇函数,∴

∵是偶函数,∴

总结升华:利用被积式函数的奇偶性求积分。 举一反三:【变式1】设 【答案】∵

是偶函数,若

,则

____________;

是偶函数,∴

【变式2】求定积分:

【答案】∵

是偶函数,

.

类型四:利用定积分求平面图形面积

5.求直线与抛物线所围成的图形面积. 思路点拨:画出简图,结合图形确定积分区间。

解析:如图,由得交点,,

所求面积:.

总结升华:求平面图形的面积体现了数形结合的思想,求图形的面积的一般步骤是: (1)画出图形,并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形;

(2)找出相关曲线的交点坐标,即解方程组,确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限);

(3)确定被积函数,即解决“积什么”的问题,是解题的关键; (4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式; (5)计算各个定积分,求出所求的面积.

举一反三: 【变式1】求由曲线图形的面积.

(),,围成的平面

【答案】如图,由()和,得交点;

法一:所求面积为矩形面积减去由曲线

(),

围成的平面图形的面积.

故所求面积为

法二:所求面积为。

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