【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。 (1) 【答案】 (1)设
; (2)
;
,
则积,
表示由直线,,以及轴围成的梯形的面
该梯形面积为 ∴ (2)设
,
。
则表示由直线,,所以
,以及。
轴围成的矩形的面积,
该矩形面积为
【变式4】利用定积分的几何定义求定积分: (1) 【答案】
; (2)
(1)设,则表示个圆,
由定积分的概念可知,所求积分就是圆的面积,
所以 (2)设边形,
,则
表示如图的曲
其面积,
故.
类型二:运用微积分定理求定积分
2.运用微积分定理求定积分
(1), (2), (3)
思路点拨: 根据求导函数与求原函数互为逆运算,找到被积函数的一个原函数,利用微积分基本定理求解. 解析:
(1)∵ (2)∵
,∴
,∴
;
;
(3)∵,∴.
总结升华:求定积分最常用的方法是微积分基本定理,其关键是找出使得的原函数
。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求
,
即利用求导函数与求原函数互为逆运算。
有时需要将原式化简后再求解,有时不易找到原函数定积分的几何定义).
举一反三:
【变式1】计算下列定积分的值:
,此时可以用其他方法(如:
(1) 【答案】 (1)∵
; (2); (3).
,
∴;
(2)∵,
∴ (3)∵
,
.
∴
【变式2】计算下列定积分的值:
;
(1) 【答案】
, (2), (3)
(1)
(2)
(3)
类型三:运用积分的性质求定积分
3.求定积分:;
思路点拨:对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分,根据定积分对区间的可加性,对给定的积分区间适当分成几个积分区间,计算各个积分,最后求和,得出结果. 解析:
=
++
=
=
=;
=
总结升华:对于图形由两部分组成的函数在求积分时,应注意用性质
+进行化简.对于含绝对值的函数求积分,一般先把绝对值号去掉,
写成分段函数,合理地确定积分区间,再进行积分.
举一反三: 【变式1】设
是连续函数,若
,
,则
____________; 【答案】
;
【变式2】已知函数 【答案】
=
++
,计算
.
=
=+
=.
4.求定积分:
思路点拨: 利用定积分的性质求解 解析:∵
是奇函数,∴