第1讲 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
知 识 梳 理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．集合间的基本关系
表示 关系 相等 集合间的基本关系 子集 真子集 空集 3.集合的基本运算
文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 符号语言 A＝B A?B 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
符号表示 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为?UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A} 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)任何集合都有两个子集．( )
(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
解析 (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等． (3)错误．当x＝1，不满足互异性． (4)错误．当A＝?时，B，C可为任意集合． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}?A B．a?A C．{a}∈A D．a?A 解析 由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a? A. 答案 D
3．(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( ) A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7}
解析 因为A＝{1,3,5,7}，而3,5∈A且3,5∈B，所以A∩B＝{3,5}． 答案 B
4．(2017·西安模拟)设全集U＝{x|x∈N＋，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}
解析 由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}． 答案 D
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素． 答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 999A.2 B.8 C．0 D．0或8 解析 (1)当x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2； 当x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1； 当x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．
(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 2
当a＝0时，x＝3，符合题意；
9
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝8， 9
所以a的取值为0或8. 答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元