第2篇 工程运动学基础
第4章 运动分析基础
4－1 小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R（如图所示）。已知小环的初速度为v0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角θ，且 0 ＜ θ ＜?，试确定小环 A
2的运动规律。
2 解：asin??a?v，a?nRv2 Rsin?A
θ O v a a?dv?acos??tdt v?ds?v0Rtan?
dtRtan??v0tstvRtan?0ds??0?0Rtan??v0tdt
s?Rtan?lnRtan?
Rtan??v0t
tv2，vdv1??v0v2?0Rtan?dt Rtan?习题4－1图
4－2 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。 y2??x?3sint?x?4t?2t 1．?， 2．?
23y?2cos2t?y?3t?1.5t??? 解：1．由已知得 3x = 4y （1） ? v?5?5t
?y?3?3t? ? a??5 ??y??3? 为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。 2．由已知，得
yx1 arcsin?arccos
3224 化简得轨迹方程：y?2?x2
9??4?4t?xOy4(a) x
???4x???2??1?O?1??2123x???(b) 习题4－2图
（2）
轨迹如图（b），其v、a图像从略。
4－3 点作圆周运动，孤坐标的原点在O点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为
1s??Rt2，式中s以厘米计，t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一2次到达y坐标值最大的位置时，求点的加速度在x和y轴上的投影。
解：v?s???Rt，at?v???R，an?v??2Rt2
R y坐标值最大的位置时：?s?1?Rt2??R，?t2?1
2y R M 22 ax?at??R，ay???R
2O x
习题4－3图
4－4 滑块A，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r的鼓轮上，鼓轮
B r A x x ω 以匀角速度ω转动，如图所示。试求滑块的速度随距离x的变化规律。
解：设t = 0时AB长度为l0，则t时刻有：
rr (?t?arctan?arctan)r?l?x2?r2
l0x2?r20 对时间求导：
?r????x?r2xxx2?r2?rx x2?r2???xxx2?r2
4－5 凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC = e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。 解：（1）顶板A作平移，其上与轮C接触点坐标： y?R?esin? t（?为轮O角速度）
y
??e?cos v?y? t ???e?2sin a??y? t ωt
x
（2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。
习题4-5图
y ?a
R?e? Re?e?2
R-e?t OO?t 2?t?e?O?-e??π ? (b) (c) (a)
4－6 绳的一端连在小车的点A上，另一端跨过点B的小滑车车绕在鼓轮C上，滑车离地面的高度为h。若小车以匀速度υ沿水平方向向右运动，试求当? = 45°时B、C之间绳
??各为多少。 上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数?解：1．∵P点速度与AB长度变化率相同
?d12xxv vP?(h2?x2)2??（?= 45°，x = h时） ?dt2h2?x221?P?2．同样：aP?v??2dxxxv2 ()??dth2?x222h22h??0，x = h） （∵?x 3．tan??xx，??tan?1 hh习题4-6图
1?x?hxh??2 ?? 2xh?x21?2h??? ??2?2hxxv2（顺） ??(h2?x2)22h2
4－7 图示矢径r绕轴z转动，其角速度为 ?，角加速度为 ?。试用矢量表示此矢径端点M的速度、法向加速度和切向加速度。 z 解：vM?dr?ω?r
dtM r??aM? aMtdvM??r?ω?vM?α?r?ω?(ω?r) ?ωdt?α?r
aMn?ω?(ω?r)?ω?v
4－8 摩擦传动机构的主动轮I 的转速为n＝600r/min，它与轮II的接触点按箭头所示的方向移动，距离d按规律d＝10-0.5t变化，单位为厘米，t以秒计。摩擦轮的半径r＝5cm，R＝15cm。求：（1）以距离d表示轮II的角加速度；（2）当d＝r时，轮II边缘上一点的全加速度的大小。 n I 解：
II r （1）?2d??nr，?2??nr
3030d??600?5?0.550??nrd rad/s2 ?2????30d230d2d22500?2?4n424（2）a?r?2cm/s2 ??2?r??59220r4304R 习题4-8图
d
4－9 飞机的高度为h，以匀速度v沿水平直线飞行。一雷达与飞机在同一铅垂平面内，
雷达发射的电波与铅垂线成? 角，如图所示。求雷达跟踪时转动的角速度? 和角加速度?与h、v、? 的关系。
解：tan??vt
v
h???vcos2? ??v，???2cos?hhvv22? ??????sin2????2sin2?cos? hhh ?
习题4-9图
4－10 滑座B沿水平面以匀速v0向右移动，由其上固连的销钉C固定的滑块C带动槽杆OA绕O轴转动。当开始时槽杆OA恰在铅垂位置，即?0；销钉C位于C0，OC0＝b。试求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。 Avtvt解：tan??0，??arctan0 rad
bb ?????bv0 rad/s 222b?v0tC0 B v0 ??????2bvt (b?vt)2302220? b
习题4-10图
4－11．设? 为转动坐标系Axyz的角速度矢量，i、j、k为动坐标系的单位矢量。试证明：
?dj??dk??di?ω???k?i???i?j???j?k?dt??dt??dt?
证：?dj?k?(ω?j)?k?ω?i??x dtdk?i?(ω?k)?i?ω?j??y dtdi?j?(ω?i)?j?ω?k??k dt?等式右侧??xi??yj??zk?ω
证毕
第5章 点的复合运动分析
5－1 曲柄OA在图示瞬时以ω0绕轴O转动，并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知，试求曲杆O1BC的角速度。
A vr 解：1、运动分析：动点：A，动系：曲杆O1BC，牵连C ve 运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
va 2、速度分析：va?ve?vr va?2l?0；va?ve?2l?0 ?OBC?ve??0（顺时针）
1?0 ??l l O O1A 习题5-1图
5－2 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径R?10cm，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA?10cm，以匀角速ω?4πrad/s绕O轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角φ?30?。求此时滑杆CB的速度。
解：1、运动分析：动点：A，动系：BC，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。
2、速度分析：va?ve?vr
va ve Ovr ? ? va?O1A???40?cm/s； vAo vBC?ve?va?40??126cm/s
习题5-2图 vA
5－3 图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度?转动，两轴间的距离是OO1 = d。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A点坐标 x1cos??rcos?t?d （1） x1sin（2） ??rsin?t （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程
x1?r2cos2?t?2rdcos?t?d2?r2sin2?t?d?r?2rdcos?t22
将（1）、（2）式相除，得： 2．摇杆转动方程： tan??rsin?t
rcos?t?d ??arctanrsin?t
习题5-3图 rcos?t?d
5－4 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O1A以匀角速度ω1绕轴O1转动，O1A = R，O1O2 =b ，O2O = L。试求当O1A水平位置时，杆BC的速度。
O2 解：1、A点：动点：A，动系：杆O2A，牵连运动：定
vBr 轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。
vBa 2B R?RC 1 vAa?R?1；v?v ?AeAaO vBe b2?R2b2?R2L 2、B点：动点：B，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转
动，相对运动：直线，绝对运动：直线。
ω1 O1 vAr vAe vAa 习题5-4图
A