公开课-幂函数教案

课题:§2.3幂函数

教学目标:

知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念、图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够采用数形结合的方法、类比研究一般函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

教学重难点:

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的概念和一些基本性质.

难点 探索幂函数在第一象限的性质特征,体会图象的变化规律

教学工具:多媒体、几何画板 教学过程:

一、创设情景,引出概念

(一)写出下列y关于x的函数解析式: ①正方形边长x、面积y;y=x2 ②正方体棱长x、体积y;y=x3

③正方形面积x、边长y;y= x

④如果小明购买了每千克1元的比x支,则她需要支付y元;y=x ⑤某人骑车x秒内匀速前进了1km,骑车速度为ykm/s:y= x -1 思考一:以上五个函数是指数函数么?有什么共同特征?

课堂组织:抽学生回答以上五个函数解析式,如有必要,其中第3、5个引导学生写成分数指数幂的形

式。让全体同学一起判断。

【活动一】:写出解析式,小组讨论共同特征,探究幂函数定义

12(1)幂的形式,系数为1 (2) 指数 是常数 (3)底数 是自变量 (4)只有一项

课堂组织:根据学生讨论结果,总结五个函数的共同特征,并引出幂函数一般形式y?x? (二)幂函数的概念(板书)

一般地,形如y?x?(板书)的函数称为幂函数,其中x是自变量,?为常数。 注意:一般形式,y?x?,?取全体实数。幂函数解析式的结构同样满足四个特征。

【活动二】:小试牛刀,定义判断

①判断下列函数是否是幂函数:

(1)y?x(2)y??x(3)y?(x?1)(4)y?x(5)y?x(6)y?2x

20532?12课堂组织:学生自主判断,并给出理由,最后引导学生找出区分幂函数与指数函数的关键地方。

【活动三】例题讲解,概念深化。解题关键是采用待定系数法。此题要详细讲解,给出解题步骤并板书。 1例1幂函数图象经过点(2,2),求函数f(x)的解析式 答案:f(x)?x2 总结:掌握形如y?x?是判断幂函数的关键。

二、互动交流,性质深化

(一)常见幂函数的图象与性质.在直角坐标系下作出下列五种常见幂函数的图像

(1)y?x;(2)y?x;(3)y?x;(4)y?x;(5)y?x?1; 【活动四】学生自主探索常见幂函数的图像并利用计算机验证 法一:列表、描点、连线 法二:计算机软件作图

课堂组织:学生在初中已经学习过1,2,5个函数,主要探索第3、4个幂函数图像。引导学生采用两种方法:(1)列表、描点、连线(2)计算机软件作图,让学生感受现代信息技术的便捷和传统教学的朴实之美。

【活动五】小组探索常见幂函数的基本性质,上台展示成果,集体点评 函数 图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 分布象限 y?x 2312y?x2 y?x3 y?x 12y?x?1 R R 奇 R上增 一三 R R R 奇 R上增 一三 ?0,??? ?0,??? 非奇非偶 [ 0,+∞)增 一 ?x|x?0? ?y|y?0? 奇 (-∞,0)减 (0, +∞)减 一三 ?0,??? 偶 (-∞,0]减 (0, +∞)增 一二 【活动六】探究幂函数的一般性质和图像的变化规律

(二)幂函数的一般性质(运用几何板展示) (1)(函数的图像和性质)在第一象限内,当??0时,幂函数在[0,+∞)上是增函数,图像过定点(1,1)和点(0,0),当??0时,幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,图像过定点(1,1)。 (2)(指数?对函数图像的影响)在第一象限内,在直线x=1右侧的图像:指数越大,图像越靠近直线x=1,指数越小,图像越靠近x轴。

课堂组织:学生观察图像总结,尤其是第一象限的图像和性质。 三、 知识运用,练习巩固

【活动七】例题讲解,练习巩固

例2.如图所示,曲线是幂函数y?x?在第一象限内的图象,已知?分别取

1?1,1,,2四个值,则相应图象依次为: (苟艺严)

2课堂组织:这个题正好根据幂函数的第一条性质,指数对幂函数图像的影响,作一条直

线x=1,那么在直线x=1右侧的图象自上而下指数依次减小,就可以得出。答案:C4,c2,c3,c1.(ppt演示)

f(x)?(m2?m?1)x?5m?3例3.已知函数

(1)当m为何值时,它是幂函数?

(2)在(1)的条件下,m为何值时,它在(0,+∞)是增函数?

提示:板书

备用练习

1、 下列命题中正确的是(D )

? A 当α=0, 函数 y ? x 的图像是一条直线 B 幂函数图像都经过(0, 0)点和(1,1)点

C 若幂函数是奇函数,则它是定义域上的增函数 D 幂函数图像不可能出现在第四象限。

2m?12. 若幂函数 f ( x ) ? ( m ? 3 m ? 1) x ,在(0,+∞)是单调递减的,则m=(0 )

四、 课堂小结,夯实基础

【活动八】本节课,你有什么收获呢?

1.幂函数的概念

2.会画5种幂函数的图像

3.结合图像了解幂函数图像的变化情况和简单性质。 五、 课后作业

P79习题2.3第2题,P82复习题A组第10题 六、教学反思

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