§2.3 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重、难点).
知识点一 归纳法及分类
由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.
完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法. 【预习评价】
下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1，5，9，13，17，( )； 113
(2)1 2，2 4，3 8，( )； 351911
(3)4，8，2，22，32，( )；
(4)32，31，16，26，( )，( )，4，16，2，11. 8113
提示 (1)21；(2)16；(3)44；(4)8 21. 知识点二 数学归纳法 1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
2.应用数学归纳法时注意几点：
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.
(3)步骤②的证明必须以“假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件. 【预习评价】
an1.对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前4项，你能得到
1＋an什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？
1111
提示 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4.猜想数列的通项公式为an＝n.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明. 2.数学归纳法如何寻求递推关系呢？
提示 ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的.
②探求递推公式要善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置.
③在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项.除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚.
方向1 用数学归纳法证明恒成立问题
【例1－1】 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) （2k＋1）（2k＋2）
＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·
k＋1＝2k·1·3·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·…·(2k－1)·[2(k＋1)－1]＝右边. ∴当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原等式均成立. 方向2 用数学归纳法证明不等式问题
【例1－2】 已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数b1＋1b2＋1bn＋1学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式b·b·…·b＞n＋1成立.
12n证明 由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)， 2＋14＋12n＋1
∴所证不等式为2·4·…·2n＞3
(1)当n＝1时，左边＝2，右边＝2， 左边＞右边， ∴不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立. 2＋14＋12k＋1即2·4·…·2k＞k＋1，
2k＋3
2k＋3k＋1
n＋1.
2＋14＋12k＋12k＋3则当n＝k＋1时，2·4·…·2k·＞2（k＋1）
2k＋3k＋1
k＋1·＝
2（k＋1）2. 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证
2≥k＋2，