二次函数综合题型精讲精练
题型一：二次函数中的最值问题
例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．
解析：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得
解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x2+x．
（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中，AB=因此OM+AM最小值为
．
=
=4
，
方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A’，将点B与A’连接起来交直线与点M，那么A’B就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B’，将点A与B’连接起来交直线与点M，那么AB’就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A
B B M
2或者 M
A’ B’
例2：已知抛物线C1的函数解析式为y?ax?bx?3a(b?0)，若抛物线C1经过点(0,?3)，方程
ax2?bx?3a?0的两根为x1，x2，且x1?x2?4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
11≥2,并说明x为何值时才会有x??2. xx（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2（2）已知实数x?0，请证明：x?上的两个不同点，且满足：?AOB?90，m?0，n?0.请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
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0
解析：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３ ∴a＝１ ∴ｙ＝x2＋bx－３
∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且x1-x2＝４
∴x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2＝４且b＜０
∴b＝－２ ∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４
∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） （2）∵x＞０，∴x?112?2?(x?)?0 xx11∴x??2,显然当x＝１时，才有x??2,
xx∴Ａ(m，m２)，B（n，n２） ∵ΔAOB为RtΔ ∴OA２+OB２=AB２
∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２ 化简得：m n＝－１ ∵ＳΔAOB=
（3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2
11OA?OB=m2?m4?n2?n4 221112?m2?n2?2?m2?2 22m∵m n＝－１ ∴ＳΔAOB＝
＝
111?1?1(m?)2??m????2?1 2m2?m?2∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１) ∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x
方法提炼：①已知一元二次方程两个根x1,x2,求|x1-x2|。因为|x1-x2|=(x1?x2)?4x1x2
2?b?b2?4ac?b?b2?4ac根据一元二次方程的求根公式x1?;x2?;可得到：
2a2abcx1?x2??;x1x2?.
aa②m?11?2,(m?o);当m?1时，m??2，取得最小值。 mm例3：如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
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解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得
；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN×OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）×3=﹣（m﹣）2+∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为
方法提炼：因为△BNC的面积不好直接求，将△BNC的面积分解为△MNC和△MNB的面积和。然后将△BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函
数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。 题型二：二次函数与三角形的综合问题
例4：如图，已知：直线y??x?3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y??x?3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax+bx+c得方程组
2（0＜m＜3）；
．
?9a?3b?c?0? ?c?3?a?b?c?0? 第 3 页 共 12 页
?a?1?解得：?b??4
?c?3?∴抛物线的解析式为y=x-4x+3
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，
若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4 , ∴P1(-1,4)
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4,
∵△ABO为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M， 即点M与点C重合 ∴P2（1，2） （3）如图设点E (x,y)，则
2AOOB? ADDP1S?ADE?1?AD?|y|?2|y| 2①当P1(-1,4)时， S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE
11?2?4??2?|y| 22 = 4+y ?
∴2y=4+y ∴y=4 ∵点E在x轴下方 ∴y=-4
代入得： x-4x+3=-4,即 x?4x?7?0 ∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 2+y
∴2y=2+y ∴y=2
∵点E在x轴下方 ∴y=-2 代入得：x-4x+3=-2
222即 x?4x?5?0，∵△=(-4)2-4×5=-4<0
2∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。
方法提炼：①求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。②要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。
例5：如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
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