全国中学生物理竞赛狭义相对论专题练习
1．假设电磁作用理论在所有惯性系都成立，惯性系S、S?间的相对运动关系如图1所示.开始时S系测得全空间有不随时间变化的电磁作用场为E?0，B?B0j，j为y轴方向上的单位矢量．在S系中放一块原不带电的长方导体平板，与x轴、y轴平行的两条直边足够长（分别可模型化为无限长），与z轴平行的直边较短．今如图2所示，令导体板以匀速度v相对S系沿x轴方向运动，在其上、下
表面上分别累积正、负电荷，稳定时电荷面密度分别记为常量?和??．将空间分为导体板上方区域、导体板内区域和导体板下方区域。
（1）在S系中求解?以及上述三区域内的电磁作用场强度量E上、E内、E下和B上、B内、
B下
（2）此导体板相对S?系静止，如果已经认知： （i）S?系测得的导体板沿x?轴方向的线度是
v????S系测得的沿x轴方向线度的?倍，导体板在S?系沿y?轴、z?轴方向2?c??1??的线度与在S系沿y轴、z轴方向的线度相同
（ii）S系测得导体板上、下表面电荷均匀分布，电荷总量为?Q，则S?系测得导体板上、下表面电荷也是均匀分布，电荷总量也为?Q
（iii）S系中一个静止质点，在S?系中必沿x?轴反方向以速率v运动；S系中一个运动质点若沿y轴（或z轴）方向分速度为零，则在S?系中沿y?轴（或z?轴）方向分速度也为零
①试求S?系三区域内的电场强度E上、E内、E下（答案中不可包含?） ②再求S?系三区域内的磁感应强度B上、B内、B下（答案中不可包含?）
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③用所得结果纠正下述手抄相对论电磁场变换公式时出现的错误．Ex??Ex，
Ey??Ey?vBz1??2，Ez??Ez?vBy1??2，Bx??Bx，B??yBy?vvEB?Eyzz22cc，B??
z1??21??2【答案】(1) 进而可得B上?B下?B0j，B内?B0j;电场分布则为E上?E下?0，21??E内??vB0k (2) 见解析 1??0【解析】 【详解】
（1）稳定时，S系中导体板上表面电荷运动形成沿x轴方向的面电流，电流线密度大小为je??v．
下表面电荷运动形成沿x轴负方向的面电流，电流线密度大小为je??v．
据磁场安培环路定理，这两个反向面电流在导体板上、下方区域和板内区域形成的附加磁场分别为
B上附?B下附?0，B内附??0?vj．
全空间磁场分布便为B上?B下?B0j，B内??B0??0?v?j．
导体板上、下表面电荷在空间形成的附加电场为E上附?E下附?0，E内附???k， ?0k为z轴方向上的单位矢量．
全空间电场分布为E上?E下?0，E内???k． ?0导体板内微观带点粒子受力平衡，有vB内?E内，v?B0???v???． ?0?0vB01??又?0?0?2，所以，．
1??2c进而可得B上?B下?B0j，B内?B0j．
1??2vB0k． 1??0电场分布则为E上?E下?0，E内??试卷第2页，总15页
（2）S系中导体板上表面面积和总电荷量记为s和Q，S?系中对应量分别记为s?和Q?，则有
s??s1??2，Q??Q．
S?系中电荷面密度便为???所以，???Q?Q?1??2?1??2?， s?s?0vB01??2．
此电荷在S?系全空间形成附加电场为E上附?E下附?0，E内附??vB01??2k．
①??电荷只能来源于原静电场产生的静电感应，又因导体板无论开始时放在S?系中沿
?，z?轴上、下方何处均有??电荷积累，故S?系中必有分布于全空间的原匀强电场E0即有
?上?E0?下?E0?内??E内附??E0vB01??2vB01??2k，
??E下??便得E上k，E内??0．
（在S系中，导体板垂直于x?、y?轴方向的侧面上无面电荷分布，也可用来说明E?必沿z?轴方向）
?、B下?求解 ②B上 考虑S系中导体板上方（或下方）初始沿z轴方向运动的带电质点，因受洛仑兹力，将做xOz平面上的匀速圆周运动（此处及如下讨论中均不考虑重力场的存在）．按照题文中的说明，该带电质点在S系中不会出现沿y?轴方向的分运动及运动趋势．又因为S?(或下)系中该带电质点所受电场力沿z?轴方向，故磁场力不会出现y?轴方向分量，即B上不存在x?分量．
考虑S系中导体板上方（或下方）带电为q的初始静止质点，因受力为零，故将保持静止状态．该质点在S系中必沿x?轴负方向匀速运动，不存在沿y?轴方向的分运动及运
?(或下)不存在z?分量． 动趋势，故磁场力不会出现y?轴方向分量，即B上?(或下)沿y?轴方向． 如上结论可判断：B上此外，该质点在S系中受力平衡，即向下的磁场力与向上的电场力之和必定为零，应有
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