课时分层作业(十五) 向量数量积的坐标运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( ) 11
A．1 B． C．－ D．－1
22
A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]
→→
2.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在BA方向上投影的数量是( )
A．－35
32B．－
232D．
2
C．35
→
A [依题意得，BA＝(－2，－1)， →
CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，
→→
→→→BA·CD－15|BA|＝5，因此向量CD在BA方向上投影的数量是＝＝－35，选A．]
→5|BA|3.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b等于( ) 7A．－ 23C． 2
D [由向量a＝(－1,2)，b＝(m,1) 得a＋2b＝(－1＋2m,4)， 2a－b＝(－2－m,3)，由题意得
1
3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，
25?1?所以a·b＝－1×?－?＋2×1＝.] 2?2?
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等
1
B．－ 25D． 2
→→
于( )
1
?77?A．?，? ?93??77?C． ?，? ?39?
77B．(－，－)
397??7
D．?－，－?
3??9
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 77
联立①②解得x＝－，y＝－. 937??7
所以c＝?－，－?.]
3??9
5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A．5 C．25
B．10 D．10
B [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴ x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴ y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝3＋?－1?＝10.]
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( ) A．a与b的夹角是直角 B．a与b的夹角是锐角 C．a＋b与a－b的夹角是钝角
D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 D [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得
2
2
a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．
(a＋b)·(a－b)＝a－b＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．
2
2
a·b24
a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，
|b|5a·b24
b〉＝＝－.故选D．]
|a|5
二、填空题
7．已知向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)，则a与b夹角的大小为____．
2
5π
[∵ 向量a＝(1，－3)，b＝(－3，1)， 6
∴a与b夹角θ满足
a·b233
cos θ＝＝－＝－，
|a|·|b|2×22
5π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
6
8．已知向量a＝( 1, 2)，b＝( x, 4)，且a∥b，则 |a－b|＝________. 5 [由题意，向量a∥b，则4－2x＝0，解得x＝2，所以b＝(2,4)， 则a－b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝?－1?＋?－2?＝5.]
→→→
9．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2，若AC·DB＝8，则∠BAC＝__________， 向量AD与CO的夹角为________．
→→→→→π2π
[因为矩形ABCD的中心为O，AD＝2，得AB·DA＝0，由AC·DB＝8，得(AB＋63→
2
2
→→→→→→→→→→
AD)·(DA＋AB)＝8，所以AB·DA＋AB2－AD2＋AD·AB＝AB2－4＝8，
→2→
即AB＝12，|AB|＝23.
如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
则A(－3，－1)，B(3，－1)，C(3，1) ，D(－3，1)， →→
得AB＝(23，0) ，AC＝(23，2) ，
→→→
OA＝(－3，－1) ， OB＝(3，－1) , AD＝(0,2)， →→→
CO＝(－3，－1)，得AB·AC＝12，
→→
|AB|＝23，|AC|＝4 ，
→→AB·AC123
所以cos ∠BAC＝＝＝，
→→23×42 |AB||AC|π
且0<∠BAC<π，所以∠BAC＝.
6
→→→→AD·CO－21cos 〈AD， CO〉＝＝＝－，
→→2×22|AD||CO|→→2π
且0≤〈AD，CO〉≤π，所以∠AOB＝.
3
3