2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解

则sin(2???4)?sinxcosy?cosxsiny?2 10三、解答题.

1、(2018年高考北京卷理科)15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高.

【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角, ∵cosB=﹣,∴sinB=

=

=

由正弦定理得则A=

=得sinA===,

(Ⅱ)由余弦定理得b=a+c﹣2accosB, 即64=49+c+2×7×c×, 即c+2c﹣15=0, 得(c﹣3)(c+5)=0, 得c=3或c=﹣5(舍), 则AC边上的高h=csinA=3×

=

2

2

2

222

2、(2018年高考北京卷文科)16.(13分)已知函数f(x)=sinx+(Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若f(x)在区间[﹣

,m]上的最大值为,求m的最小值.

2

sinxcosx.

【解答】解:(I)函数f(x)=sinx+=sin(2x﹣

)+,

=π;

sinxcosx=+sin2x

f(x)的最小正周期为T=(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣可得2x﹣即有2m﹣

∈[﹣≥

,m]上的最大值为,

], ,

,2m﹣

,解得m≥

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则m的最小值为.

3、(2018年高考天津卷文理科15,文科16).(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值. 【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得又bsinA=acos(B﹣∴asinB=acos(B﹣∴tanB=

, =

,由bsinA=acos(B﹣

),得sinA=

).

),即sinB=cos(B﹣

)=cosBcos

+sinBsin

=

cosB+

,得bsinA=asinB,

).

又B∈(0,π),∴B=

(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=由余弦定理得b=∵a<c,∴cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cosA﹣1=,

2

∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.

4、(2018年高考浙江卷)18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣). (Ⅰ)求sin(α+π)的值; (Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=

,求cosβ的值.

【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣). ∴x=﹣,y=

,r=|OP|=

∴sin(α+π)=﹣sinα=(Ⅱ)由x=﹣,y=

,r=|OP|=1,

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得,

又由sin(α+β)=得

=,

, .

则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=∴cosβ的值为

5、(2018年高考全国卷1理科17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2

,求BC.

【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. ∴由正弦定理得:∴sin∠ADB=

=

=,

,即

=

∵AB<BD,∴∠ADB<∠A, ∴cos∠ADB=

=

(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=∵DC=2∴BC==

=5.

6、(2019年高考全国I卷理科17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设

(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC.

(1)求A;

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(2)若2a?b?2c,求sinC.

解:(1)由已知得sinB?sinC?sinA?sinBsinC,故由正弦定理得b?c?a?bc.

222222b2?c2?a21?. 由余弦定理得cosA?2bc2因为0?A?180,所以A?60.

(2)由(1)知B?120?C,由题设及正弦定理得2sinA?sin120??C?2sinC,

??????即

6312?cosC?sinC?2sinC,可得cos?C?60????. 2222???由于0?C?120,所以sinC?60???2,故 2sinC?sin?C?60??60??

?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?2. 47、(2019年高考全国I卷文科20)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f ′(x)为f(x)的导数.

(1)证明:f ′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. 解:

(1)设g(x)?f?(x),则g(x)?cosx?xsinx?1,g?(x)?xcosx.

当x?(0,)时,g?(x)?0;当x??单调递减. 又g(0)?0,g?π2π?π??π?,π?时,g?(x)?0,所以g(x)在(0,)单调递增,在?,π?2?2??2??π???0,g(π)??2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点. ?2?所以f?(x)在(0,π)存在唯一零点.

(2)由题设知f(π)…aπ,f(π)?0,可得a≤0.

由(1)知,f?(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x??0,x0?时,f?(x)?0;当x??x0,π?时,

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f?(x)?0,所以f(x)在?0,x0?单调递增,在?x0,π?单调递减.

又f(0)?0,f(π)?0,所以,当x?[0,π]时,f(x)…0. 又当a?0,x?[0,π]时,ax≤0,故f(x)…ax. 因此,a的取值范围是(??,0].

8、(2019年高考全国III卷文理科18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知asin(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理得sinAsinA?C?bsinA. 2A?C?sinBsinA. 2因为sinA?0,所以sinA?C?sinB. 2A?CBBBB?cos,故cos?2sincos. 22222由A?B?C?180,可得sin?因为cosBB1?0,故sin?,因此B=60°. 2223a. 4(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC??csinAsin?120?C?31由正弦定理得a????.

sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形,故0°

133?a?2,从而?S△ABC?.

822因此,△ABC面积的取值范围是??33??8,2??. ??中,a=3,b-c=2 ,cosB??9、(2019年高考北京卷理科15)在(Ⅰ)求b,c的值; (Ⅱ)求sin(B-C) 的值。

1 . 2a2?c2?b21解析:(I)cosB???,

2ac22018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数 第20页 共23页

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