有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广 摘要
闭区间在实数系是紧致的，闭区间上的连续函数具有许多优良的整体性质。例如有界性、最值性、介值性及一致连续性。开区间或半开区间是非紧致的,其上的连续函数就未必具有上述性质。本论文从连续函数在不同区间上的性质，分别讨论连续函数的局部性质、在闭区间上的性质、以及一般区间上三方面内容；同时还要讨论连续函数在闭区间上的性质和应用。由上述连续函数在闭区间和局部区间的性质由此推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，讨论一般性区间上的连续函数性质，连续函数的性质，主要从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时讨论其复合函数、导函数的证明其是否成立，以及极限的存在；本文还讨论一致连续函数，本论文作为闭区间上连续函数性质的应用,补充一些相应的条件,将上述性质逐一地推广到开或半开区间。 关键词:连续函数，有界性，最值性，闭区间，开区间，极限
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有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广 Abstract
Closed interval in the real number system is compact, continuous function on a closed interval has many excellent overall properties. For example, the value of boundedness and uniform continuity, intermediate value. Open interval or half open interval is non compact, continuous function on which it may not have the above properties. This paper from the continuous function in different section properties,respectively discuss local properties, continuous function in closed interval properties, as well as the general interval of three aspects; At the same time also discussed the properties and application of continuous function in the closed interval. By the continuous function in closed interval and the local properties of interval which is extended to the general interval correlation theorem and properties, discuss the general properties of continuous functions on the interval, the properties of continuous function, mainly from the continuous function on the interval. Almost everywhere Integrability and differentiability . At the same time we prove that the composite function, guiding function whether it was established, and the existence of a limit . This paper also discusses the uniformly continuous function, this paper use as continuous function on a closed interval properties, additional conditions, the properties one by one extension to open or semi open interval.
Key Words：Continuous function, Boundedness, The value, The closed interval, The interval, Limit
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有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广 前言
根据现在国内的情况来看，关于连续函数的性质研究的文献并不多，而且其中的很多文献也只是在连续函数性质上的一两点的拓展；并且在实数范围内，没有把连续函数的定义，等价定义，基本性质等一些相关定理，进行系统的研究总结形成相对完整的体系。在进入21世纪后，随着计算机高度的普及，数学也面临着一次深刻的改革，如何能够把握时机，来抓住历史的机遇，如何能够在以后的世界里发挥更重大的作用，因此我们应该在已经研究出来的这些基础之上，结合在实数范围内的连续函数的性质，以及定理研究，再加上完整的透彻，这样就能进行更好的拓展和推广，从而将它应用到其他的学科和生产实践之中去。
在生活中，连续函数要在整个区间上连续的情况很少，而大多的函数是不连续的；事实上，很多的不连续函数是可以分解成一些半连续的函数，欲研究现实生活中的现象，必须把连续的条件进行一个放松，这样对研究连续函数就非常的有实用价值了。连续函数是分析研究学中的一个至关重要的一个概念，对连续函数的研究将可能提供能解决其他问题的新方法，通过对分析学内容的完善，将会使数学这样如此抽象的一个系统变得更加的完善和严谨。其次，连续函数在物理学，计算机科学，拓扑学以及生物系统的研究中都存在着广泛的应用，故对连续函数的性质的研究是推动其他学科的进步的动力。本论文会从连续函数在不同区间上存在的性质， 分别得对连续函数在局部中、闭区间上的性质以及在一般区间上这三方面进行讨论；连续函数的局部性质主要有保号性、局部有界性，以及复合函数性质和四则运算性质及其应用；与此同时，我们还要对连续函数在闭区间上的性质和应用进行相应的讨论，而且通过对连续函数有界性定理和最值定理，零点定理、介值定理的证明可以推导得到，在闭区间上函数的连续性在该区间上有界，在闭区间上的函数在连续区间内必取得介于最小值与最大值之间的任何值的推论；根据上述连续函数在闭区间和局部区间的性质可以推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，对于一般性区间上的连续函数性质的讨论，如果在不同一般区间上的有界性定理和最值定理及介值定理的证明；我们对连续函数的性质讨论，主要是从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时对它的复合函数、导函数的证明其是否成立进行讨论；本论文还对连续函数的一致连续性进行讨论，即一致连续函数的的定义及证明，包括一致函数的几种运算性质，如通过加减乘除以后的函数是否仍是一致连续以及对复合函数的一致连续性的证明。
本论文的研究增加了我们抽象思维能力、分析问题及解决问题的能力。对我们综合素质的提高起到了很大的帮助。
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