专升本资料3(一元函数积分学)

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四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲(理工类)

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论;掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时:120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

(一)不定积分

(成都理工大学13:理文科—1个选3分;) (成都理工大学14:理文科—1个选3分;)

(攀枝花学院13:理科——选择3分、解答两个12分;文科——选择3分、解答一个5分;)

1. 理解原函数和不定积分的概念,掌握不定积分的性质,了解原函数的存在定理。

(1) F(x)是f(x)的一个原函数 ?F?(x)?f(x)

F(x)是f(x)的一个原函数 ?(2) 不定积分的基本性质

?f(x)dx?F(x)?C

df(x)dx?f(x) , ② d?f(x)dx?f(x)dx, dx?③ F?(x)dx?F(x)?C , ④ d[F(x)]?F(x)?C.

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例1 (攀枝花学院:理科——选择3分)设secx是f?x?的一个原函数,则 ?f?x?dx?.

2?A、tanx?C B、xtanx?tanx?C C、sec2x?C D、sec2x?tanx?C

例2 (攀枝花学院:文科——选择3分)1、若f?(x)为连续函数,则

?f?(2x)dx等于.

(A)

1f(2x)?C (B) f(x)?C (C)f(2x)?C (D) 2f(2x)?C 22. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的,是做一切积分题的前提,必须要能默写(13个+2个)

3. 熟练掌握不定积分第一类换元法,第二类换元积分法(限于三角代换与简单的根式代换)

(1)第一类换元法:

?g(x)dx??f[?(x)]??(x)dx

??f[?(x)]d[?(x)] (① 凑微分)

??f(u)du (② 换元, 可以省略,写到草稿纸上)

?F(u)?C (③ 用积分公式,可以省略,写到草稿纸上)

。 ?F[?(x)]?C (④ 回代还原)

(2)第二类换元法:

主要解决:带有根式的函数的积分:nax?b,二次式

令x??(t),则dx???(t)dt

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt??g(t)dt?G(t)?C?G[??1(x)]?C

基本的三角代换:

①含有a2?x2时,令x?asint,从而a2?x2?acost,dx?acostdt. ②含有x2?a2时,令x?atant,从而x2?a2?asect,dx?asectdt.

2③含有x2?a2时,令x?asect,从而x2?a2?atant,dx?asect?tantdt.

4. 掌握不定积分的分部积分法。

主要解决:对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。

?f(x)dx??u(x)d[v(x)]

?u(x)?v(x)??v(x)d[u(x)]

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?u(x)?v(x)??v(x)?u?(x)dx

5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为:整式+真分式。

再化部分分式:将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。

例1(成都理工大学13:理科、文科——选择题1个3分)已知?f(x)dx?F(x)?C,则

?f(3?2x)dx?【 】

(A)F(3?2x)?C (B)?1F(3?2x)?C (C)1F(3?2x)?C (D)2F(3?2x)?C

22例2(成都理工大学14:理科、文科——选择题1个3分).若?f(x)dx?x?1?C,则x?2?f(cosx)sinxdx=【 】

(A)

cosx?1cosx?1x?1sinx?1?C (B)??C (C)?C (D)?C

cosx?2cosx?2x?2sinx?2

例3 (1)(攀枝花学院13:理科——解答题2个12分)求下列积分 ①

?20xe?xdx; ②?2dx;(攀枝花学院13:理科——解答题2个12分) 5x(1?x)③ ?x?1dx(攀枝花学院13:文科——解答题1个5分) x(1)(攀枝花学院14:理科——解答题1个6分)计算?xtan2xdx

例4 求下列积分

x3x4?2x2?2x2?3x?5dx ; ② ?3dx ; ③?2dx; ① ?2x?1x?x?2x?2x2?x?2④

13x?4dx ; ⑤?(x2?1)(x2?x)?2x2?x?5dx

(二)定积分

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