几何五大模型之五(燕尾定理)

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燕尾定理

例题精讲

燕尾定理:

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O, 那么,

S?ABO:S?ACO?BD:DC

AEOB

FDC

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理:

如右图,D是BC上任意一点,请你说明:S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,所以有S1:S4?BD:DC;

三角形ABE与三角形EBD同高,S1:S2?ED:EA;

三角形ACE与三角形CED同高,S4:S3?ED:EA,所以S1:S4?S2:S3;

综上可得, S1:S4?S2:S3?BD:DC.

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【例 1】 (2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在

BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .

AEBDFC

【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.

AEF

BDC

【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm2,E 在AC上,点D在BC上,且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3,

AD与BE 交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .

AEBDFC

【巩固】如图,已知BD?3DC,EC?2AE,BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几?

A

EOBDC11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在△ABC中,CP?CB,CQ?CA,BQ与AP相交于

23点X,若△ABC的面积为6,则△ABX的面积等于 .

CQXB

【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD?2DC,CE?2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分

的面积各是多少?

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AEFBDC

【巩固】如图,E在AC上,D在BC上,且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积 .

AEFBDC

【巩固】三角形ABC中,C是直角,已知AC?2,CD?2,CB?3,AM?BM,那么三角形AMN(阴影

部分)的面积为多少?

AMNCDB

【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC?2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少

平方厘米?

AFBGDECAxFyyxGDEC

B

【例 2】 如图所示,在四边形ABCD中,AB?3BE,AD?3AF,四边形AEOF的面积是12,那么平行四边

形BODC的面积为________.

AFEBOCD

【例 3】 ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于G,则四边形

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