1 赫尔默特方差分量估计
我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。
一、赫尔默特方差分量估计公式
为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为
~L1?B1X??1~L?BX??2 （函数模型） 2 22?1D(L1)?D(?1)??0P12?1D(L2)?D(?2)??0P2（8-4-1）
?D(?1,?2)?0 （随机模型） D(L1，L2）其误差方程为
（8-4-2）
??l1 权阵P1 V1?B1x（8-4-3）
??l2 权阵P2 （8-4-4） V2?B2x作整体平差时，法方程为
??W?0 Nx式中
1B1，N2?B2P2B2 N?N1?N2，N1?B1PTT（8-4-5）
，W2?B2P1l12l2 W?W1?W2，W1?B1PTT一般情况下，由于第一次给定的权P1、P2是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差
22??是不相等的，设为01和02，则有
2D(L1)??01P1?1 D(L2)??02P2
2222?1（8-4-6）
但只有?01??02??0才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权P1、
22?01?02、?P2进行预平差，然后利用平差后两类观测值的V1TP1V1、V2TP2V2来求估计量?，22?(L)、D?(L)?????D010212，再根据（8-4-6）式求出由这个方差估值再重新定权，再平差，直到
?、??02之间的关系式。 ?1V1、V2P2V2与估计量01为止。为此需要建立V1PTT22由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q方差阵为q?q维随机变量q?1Y?，已知其数学期望为q?1，
?，则q?1Y向量的任一二次型的数学期望可以表达为：
E(YTBY)?tr(B?)??TB?
式中B为任意q阶的对称可逆阵。
（8-4-7）
现用V向量代替上式中的Y向量，则其中?的应换为E(V)，?应换为D(V)，B阵可以换成权阵P，于是有
E(VPV)?tr(PD(V))?E(V)PE(V) （8-4-8） 前面已经证明E(V)?0，于是有：
E(V1PV1)?tr(PD(V1)) 而
?1V?BNW?l1 11
TTT（8-4-9）
?B1N?1(W1?W2)?l1
T?1?B1N?1B1P1l1?B1NB2P2l2?l1
?1T?11?I)l1?B1NB2P2l2 ?(B1NB1PTT对上式应用协因数传播律得
?1T?1TTD(V)?(BNBP?I)D(L)(BNBP?I)? 11111111
?1TB1N?1B2PD(L)PBNB1 22222?12?1D(L)??P、D(L)??P10112022将代入上式，整理后得
T2?1?1?1?12?1?11)??02B1NN2NB1 D(V1)??01(B1NN1NB1?2B1NB1?PTTT将上式代入（8-4-9）式，得
1V1)?tr(P1D(V1)) E(V1P2??01tr(P1B1N?1N1N?1B1?2P1B1N?1B1?P1P1?1)?T2?02tr(P1B1N?1N2N?1B1)TTT
顾及矩阵迹的性质，上式可写为
2?1?1?12?1?1E(V1P1V1)??01[n1?2tr(N1N)?tr(N1NN1N)]??02tr(N1NN2N)
T同理可得
2?1?1?12?1?1 E(V2P2V2)??02[n2?2tr(N2N)?tr(N2NN2N)]??01tr(N1NN2N) 2222???、??、?02也改用估值符号0102表示，去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差01整
T理顺序后得
22?01?02[n1?2tr(N1N?1)?tr(N1N?1N1N?1)]??tr(N1N?1N2N?1)??V1TP1V1
（8-4-10）
22?01?02tr(N1N?1N2N?1)??[n2?2tr(N2N?1)?tr(N2N?1N2N?1)]??V2TP2V2
其矩阵形式可写为
式中
2?22?1（8-4-11）
??WS?? （8-4-12）
（8-4-13）
2?1??S?1W???n1?2tr(N1N?1)?tr(N1N?1N1N?1)?tr(N1N?1N2N?1)S???1?1?1?1?1?tr(NNNN)n?2tr(NN)?tr(NNNN)? 122222?
22??01?02? ? ????TTTW?VPVVP2V2?1112
??T
（8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。
现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为
??li (i?1，2?m) Vi?Bix令
2?1D(L)??Pi0ii
m1
N?BPBi，N??NiTii
则得参数的估值为
W?BPili，W??WiTi1m
??N?1W x按照上述类似的推导，则有
E(ViPiVi)??[ni?2tr(NiN)?tr(NiNNiN)]?T20i?1?1?1j?1,j?i??m20jtr(NiN?1NjN?1)
22???0i0去掉期望符号，相应的单位权方差也改为用估值符号i，则有
式中
m?mm?1??WS?? （8-4-14）
?n1?2tr(N1N?1)?tr(N1N?1N1N?1)，tr(N1N?1N2N?1)??tr(N1N?1NmN?1)????1?1?1?1?1?1?1tr(N2NN1N)，n2?2tr(N2N)?tr(N2NN2N)??tr(N2NN2N)?S????????????????????????????????????????1?1?1?1?1?1?1??tr(NmNN1N)，tr(NmNN2N)??nm?2tr(NmN)?tr(NmNNmN)??
??2?2?2 ????01?02??0m?
TTTW?VPVVP2V2?1112
?T?VmPmVm
?T二、计算步骤
1、P2?Pm； 1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值PTVPiVi； i2.进行第一次平差，求得
?0i； 3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值?4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；
5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。
22 秩亏自由网平差
在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。
在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为
??lV?Bxn?1n?tt?1n?1 （8-2-1）
式中系数阵B为列满秩矩阵，其秩为R(B)?t。在最小二乘准则下得到的法方程为
??W?0Nbbxt?tt?1t?1 （8-2-2）
由于其系数阵的秩为R(Nbb)?R(BPB)?R(B)?t，所以Nbb为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆N?1bb，因此具有唯一解，即
T??N?1bbW x（8-2-3）
当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u，误差方程为
??lV?Bxn?1n?uu?1n?1 （8-2-4）
式中