最新中考数学专题训练——二次函数的实际应用(利润最值问题7页)及答案
二次函数的实际应用——最大(小)值问题
知识要点：
b24ac?b2)?二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)化成顶点式y?a(x?，2a4a2如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
4ac?b2b即当a?0时，函数有最小值，并且当x??，y最小值?；
4a2a4ac?b2b当a?0时，函数有最大值，并且当x??，y最大值?．
4a2a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，如果顶点在自变量的取值范围x1?x?x2内，
4ac?b2b则当x??，y最值?，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取
4a2a值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当x?x2时，
2y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；
2如果在此范围内y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当2?bx2?c． x?x2时，y最小?ax2
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数y?x?2x?3的最值． 解：y?(x?1)?4
当x??1时，y有最小值?4，无最大值．
（2）求函数y?x?2x?3的最值．(0?x?3) 解：y?(x?1)?4
∵0?x?3，对称轴为x??1
∴当x?0时y有最小值?3；当x?3时y有最大值12．
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，
2222y1为涨价时的利润，y2为降价时的利润 则：y1?(60?40?x)(300?10x)
2 ??10(x?10x?600)
??10(x?5)?6250
当x?5，即：定价为65元时，ymax?6250（元）
2y2?(60?40?x)(300?20x)
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??20(x?20)(x?15) ??20(x?2.5)?6125
当x?2.5，即：定价为57.5元时，ymax?6125（元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．
[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x元，利润为y元， 则：y?(30?x?20)(400?20x) ??20(x?10)(x?20) ??20(x?5)?4500 当x?5，ymax?4500（元）
答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．
2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x人(x?30)，营业额为y元， 则：y?x[800?10(x?30)] ??10x(x?110) ??10(x?55)?30250 当x?55，ymax?30250（元）
答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．
[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． y（件） 25 20 10 … ⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
解：⑴设一次函数表达式为y?kx?b．
222?k??1?15k?b?25, 解得?，?
?2k?b?20?b?40即一次函数表达式为y??x?40．
⑵ 设每件产品的销售价应定为x元， 所获销售利润为w元
)y?(x?10)(?x?40) w?(x?102 ??x?50x?400
则?
2
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2 ??(x?25)?225 当x?25，ymax?225（元）
答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
3．超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b由图象可知，
?30k?b?400,??40k?b?200?k??20， 解之得:??b?1000即一次函数表达式为y??20x?1000(30?x?50)． ⑵ P?(x?20)y?(x?20)(?20x?1000)
0?2000 0 ??20x?140x ∵a??20?0 ∴P有最大值．
1400?35时，Pmax?4500（元）
2?(?20)2（或通过配方，P??20(x?35)?4500，也可求得最大值）
当x?答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
⑶∵4180??20(x?35)?4500?4480 1?(x?35)?16 ∴31≤x?≤34或36≤x≤39．
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