第十节 圆锥曲线中的范围、最值问题
[最新考纲] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想.3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．
考点1 范围问题
求参数范围的4种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围． (4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
(2019·山师附中模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，设
32
直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)若|m|>3，求实数k的取值范围；
(2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)，求△OAB的面积的取值范围．
[解] (1)联立方程＋＝1和y＝kx＋m，
32得(2＋3k)x＋6kmx＋3m－6＝0， 所以Δ＝(6km)－4(2＋3k)(3m－6)>0，
22221所以m<2＋3k，所以2＋3k>3，即k>，
3
2
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
解得k>
33或k<－. 33
所以实数k的取值范围为?－∞，－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， －6km3m－6
则x1＋x2＝，xx＝1222.
2＋3k2＋3k2
?
?3??3??∪?，＋∞?. 3??3?
设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2， 因为直线OA，AB，OB的斜率成等比数列， 所以k1k2＝
y1y22kx1＋mkx2＋m2
＝k，即＝k(m≠0)， x1x2x1x2
2222
化简得2＋3k＝6k，即k＝.
3
因为|AB|＝1＋k|x1－x2|＝点O到直线l的距离h＝
|m|1＋k2
5?32??6－m?， 3?2?＝2
3
|m|， 5
16
所以S△OAB＝|AB|·h＝·
26
32?32?
m＋?6－m?
?2?32?32?626
m?6－m?≤×＝， 2?2?622
当m＝±2时，直线OA或OB的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB的面积的取值范围为?0，
?
?6??. 2?
本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用判别式构
建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式．
[教师备选例题]
x2y2?3?(2019·江南十校联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点?1，?，ab?2?
且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
?1?(2)过点?，0?作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C?2?
的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
19?3?[解] (1)∵椭圆C过点?1，?，∴2＋2＝1，① a4b?2?∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点， 322222
∴a＝2c，∵a＝b＋c，∴b＝a，②
4由①②得a＝4，b＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1.
43
1?1?(2)依题意，直线l过点?，0?且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋. 2?2?，?x＝my＋1
2?由方程组
?x＋y＝1?43
2
2
2
22
2
x2y2
消去x，并整理得
4(3m＋4)y＋12my－45＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)
3m∴y1＋y2＝－2，
3m＋4∴y0＝
y1＋y2
2
＝－
2
3m， 2
3m＋4
12y0m∴x0＝my0＋＝2，∴k＝＝2.
23m＋4x0－24m＋4①当m＝0时，k＝0 1
②当m≠0时，k＝，
44m＋
m411
当m>0时，4m＋≥8，∴0<≤.
m48
4m＋
m1
∴0 8 4?当m<0时，4m＋＝－? m? 4 －4m＋??≤－8， －m? 1111∴－≤＝k<0.∴－≤k≤且k≠0. 84884m＋ m综合①、②可知， ?11?直线MA的斜率k的取值范围是?－，?. ?88? 1.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同 的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 4 2 2 y2 ?12??12?[解] (1)证明：设P(x0，y0)，A?y1，y1?，B?y2，y2?. ?4??4? 因为PA，PB的中点在抛物线上，