实数_知识点+题型归纳

第六章 实数

知识讲解+题型归纳

三、平方根与立方根

1.平方根:如果一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作? a (a>=0)

特性:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根还是零。负数没有平方根。

? 知识讲解

一 、 实数的组成

1、实数又可分为正实数,零,负实数

2.数轴:数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应

二 、相反数、绝对值、倒数

1. 相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零. 性质:互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值:表示点到原点的距离,数a的绝对值为 | a |3.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1a . 0没有倒

数。

4.相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是非负数(0和正数);倒数是它本身的数是±1.

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根,零的算术平方根还是零。 开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方。

2.立方根:如果一个数的立方等于a,则称这个数为a立方根 。数a的立方根用

3a表示。

任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零。

开立方:求一个数的立方根(三次方根)的运算,叫做开立方。

四 、实数的运算

有理数的加法法则:

a)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

b)异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则:

a)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.

b)几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正 c)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0 4.有理数除法法则:

4)平方法:a、b均为正数时,若a2>b2,则有a>b;均为负数时相反 5)倒数法:两个实数,倒数大的反而小(不论正负)

? 题型归纳

? 经典例题

类型一.有关概念的识别

1.下面几个数:0.23 ,1.010010001…,

,3

a)两个有理数相除(除数不为0)同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。 b)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.有理数的乘方:

在an中,a叫底数,n叫指数

a)正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;0的任何次幂都是0 b)a0=1(a不等于0) 6.有理数的运算顺序: a)同级运算,先左后右

b)混合运算,先算括号内的,再乘方、开方,接着算乘除,最后是加减。

五·实数大小比较的方法

1)数轴法:数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 2)比差法:若a-b>0则a>b;若a-b<0则a1则a>b;a/b<1则a

B.两个数均为负数时,a/b>1则ab C.一正一负时,正数>负数

π,,,其中,无理数的个数有( )

A、1 B、2 C、3 D、4

解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数

故选C 举一反三:

【变式1】下列说法中正确的是( ) A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1

D、

是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念, ∵

=9,9的平方根是±3,∴A正确.

∵1的立方根是1,=1,

是5的平方根,∴B、C、D

都不正确.

【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是( )

A、1 B、1.4 C、 D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为

,由圆的定义知|AO|=

,∴A表示数为

,故选C.

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10

因此3π-9>0,3π-10<0 ∴

类型二.计算类型题

2.设

,则下列结论正确的是( ) A. B.

C.

D.

解析:(估算)因为,所以选B

举一反三:

【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27

立方根是__________. 3)

___________, ___________,

___________.

【答案】1);.2)-3. 3), ,

【变式2】求下列各式中的 (1)

(2)

(3)

【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4

类型三.数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为

,则A,B两点的距离为______

解析:在数轴上找到A、B两点,

举一反三:

【变式1】如图,数轴上表示1,

的对应点分别为A,B,点B关

于点A的对称点为C,则点C表示的数是( ).

A.

-1 B.1-

C.2-

D.

-2

【答案】选C

[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:

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