第二讲 空间点、线、面位置关系的判断
年份 卷别 Ⅰ卷 2018 考查角度及命题位置 直线与平面所成角及正方体的截面最值问题·T12 命题分析 (1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或一道解答题． (2)选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小． 学科素养 通过平行、垂直关系的判断与证明重点考查学生直观想象与逻辑推理素养，通过体积计Ⅲ卷 线面平行的证明·T19 算考查数学运算素养.
空间点、线、面位置关系的基本问题
授课提示：对应学生用书第37页
[悟通——方法结论]
空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例．
(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
命题分析及学科素养 Ⅱ卷 异面直线所成角的求法·T9 Ⅲ卷 面面垂直的证明·T19 Ⅰ卷 面面垂直·T18 2017 Ⅱ卷 线面平行·T19 Ⅲ卷 面面垂直·T19 Ⅰ卷 面面垂直的证明·T18 2016 Ⅱ卷 线面垂直证明·T19 第 1 页 共 19 页
解析：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.
答案：C
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
1A. 5C.5 5
B.D.5 62 2
解析：法一：如图(1)，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA-A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝12＋?1＋1?2＝5，B′B1＝12＋?3?2＝2，DB1＝12＋12＋?3?2＝5. 第 2 页 共 19 页
在△DB′B1中，由余弦定理，得
2
DB′2＝B′B2DB1·cos∠DB1B′， 1＋DB1－2B′B1·
即5＝4＋5－2×25cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝故选C.
5
. 5
法二：如图(2)，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，3)，B1(1,1，3)，
→→
∴AD1＝(－1,0，3)，DB1＝(1,1，3)， →→∴AD1·DB1＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， →→
|AD1|＝2，|DB1|＝5，
→→AD1·DB125→→
∴cos〈AD1，DB1〉＝＝＝.
5→→
|AD1|·|DB1|25故选C. 答案：C
4．(2016·高考全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)． 解析：根据相关知识，对四个命题逐个判断．
对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．
对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．
对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．
对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
答案：②③④
判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法
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