直线的方程

直线的方程

最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.

知 识 梳 理

1.直线的倾斜角

(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角;

(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0; (3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π). 2.直线的斜率

(1)定义:当直线l的倾斜角α≠

π

时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条2

直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan__α;

(2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

y2-y1. x2-x1

3.直线方程的五种形式

名称 斜截式 点斜式 两点式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 方程 适用条件 与x轴不垂直的直线 y=kx+b y-y0=k(x-x0) y-y1x-x1= y2-y1x2-x1xy+=1 ab与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 一般式 [微点提醒]

Ax+By+C=0 (A+B≠0) 22所有直线 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

α 0 k 0 π0<α< 2π 2不存在 π<α<π 2k>0 k<0 2.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系:

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )

(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )

解析 (1)当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率

k1=-1,k2=1,k1<k2.

(2)当直线斜率为tan(-45°)时,其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2.(必修2P89B5改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为________. 解析 由题意得

3m-6

=12,解得m=-2,∴A(2,6), 1+m∴直线AB的方程为y-6=12(x-2), 整理得12x-y-18=0. 答案 12x-y-18=0

3.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.

解析 当纵、横截距均为0时,直线方程为3x-2y=0;

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当纵、横截距均不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以

aaaa直线方程为x+y-5=0. 答案 3x-2y=0或x+y-5=0

4.(2019·衡水调研)直线x-y+1=0的倾斜角为( ) A.30° C.120°

B.45° D.150°

解析 由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tan α=1,又0°≤α<180°,故α=45°. 答案 B

5.(2019·广东七校联考)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,1) C.(-∞,0) 解析 由题意知答案 A

6.(2018·兰州模拟)已知直线l过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6,则直线l的方程是( ) A.3x+y-6=0 C.3x-y=0

B.x+3y-10=0 D.x-3y+8=0

B.(-1,2)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

2a-1-aa-1

<0,即<0,解得-2

3-1+a2+a解析 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).

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