直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠
π
时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条2
直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
y2－y1. x2－x1
3.直线方程的五种形式
名称 斜截式 点斜式 两点式 几何条件 纵截距、斜率 过一点、斜率 过两点 方程 适用条件 与x轴不垂直的直线 y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0) y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xy＋＝1 ab与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 一般式 [微点提醒]
Ax＋By＋C＝0 (A＋B≠0) 22所有直线 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 k 0 π0<α< 2π 2不存在 π<α<π 2k>0 k<0 2.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率
k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P89B5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________. 解析 由题意得
3m－6
＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)， 1＋m∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)， 整理得12x－y－18＝0. 答案 12x－y－18＝0
3.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.
解析 当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；
xy23
当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以
aaaa直线方程为x＋y－5＝0. 答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
4.(2019·衡水调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( ) A.30° C.120°
B.45° D.150°
解析 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B
5.(2019·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( ) A.(－2，1) C.(－∞，0) 解析 由题意知答案 A
6.(2018·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( ) A.3x＋y－6＝0 C.3x－y＝0
B.x＋3y－10＝0 D.x－3y＋8＝0
B.(－1，2)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
2a－1－aa－1
<0，即<0，解得－2 3－1＋a2＋a解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0). xyab