似然方程为
?lnL?(???1?)nn???li?1nXi? 0???(1解得?nn?lnXi?1i)．
(3似然函数为 )nn L(?)?似然方程为
???Xi?1??1ie??Xi?n????(?Xi)i?1n??1?en?Xii?1?
?lnL?(????1Xi)．
?)nn????Xi?0
i?1??(1解得?nn?i?1 (4)似然函数为
n L(?)?似然方程为 ??解得?rX?i?1?r?(r)Xr?1ie??Xi??nrnn(?(r))(?Xi)i?1r?1e??nX
?lnL?(???)nr?nX?0
?．
(5似然函数为 )n L(?)?似然方程为
??ei?11?Xi??1?ne?1?nX
?lnL?(??)nnX???20?
?? 6
??X． 解得?6.设总体X的密度为
f(x;?)?(??1)x,0?x?1
?其中???1未知，X1,X2,?,Xn为其样本,求?的矩估计和极大似然估计.今得样本观察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求?的矩估计值和极大似然估计值.
解 EX???11?X?10x(??1)xdx????1??2，由矩法令X???1??2，解得矩估计
M???2，矩估计值为?M??0.07．
似然函数为
nn L(?)?似然方程为
?(?i?1??1)Xi?(??1)(?Xi)
ni?1??lnL?(???)nn??1n??li?1nXi??1 0?解得极大似然估计?L?1??1???n?lnXi?1?i????0.234． ，极大似然估计值?L7.设X1,X2,?,Xn为抽自U[?,2?]的样本,求?的矩估计和极大似然估计.
3?3??M?2X． 解 EX?，由矩法令X?，解得?223似然函数为
L(?)?1,??X1,X2,?,Xn?2?
???n1n
,??X(1)?X(n)?2?故X(1)和
1?L?min?X,1X?． X(n)都有可能是?的极大似然估计，一般取??(1)(n)?22??7
8.设总体X具有分布律
X
1 2 3
(1??)2pk ?2 2?(1??)
其中0???1未知.已取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1.求?的极大似然估计值.
解 似然函数为
2 L(?)???2??(1??2)??5?2? (1?)似然方程为 ??解得?56?lnL?(???)5??1??10?
．
9.设总体X具有密度函数
f(x;?)?12?e?x?,???x??
其中??0未知,X1,X2,?,Xn为其样本.求?的极大似然估计.
解 似然函数为
nn L(?)?似然方程为
?i?112?e?Xi??12?nne1???i?1Xi
?lnL?(??)n???n??2?i?11Xi?0
??1解得?nn?i?1Xi．
10.设总体X有密度函数
?e?(x??),x??f(x;?)??
0,x???其中??????未知,X1,X2,?,Xn为其样本.求?的矩估计和极大似然估计.
8
?M?X?1． 解 EX?1??，令X?1??，解得矩估计?似然函数为
nL(?)??ei?1?(Xi??)?e?n(X??),X(1)??
?e?n(X?X(1)),X(1)???L?X． 故?的极大似然估计为?(1)11.设总体X~N(?,?2),X1,X2,?,Xn为其样本.
?(1) 求k,使?2?1n?1i?12?Xi)为?的无偏估计;
2
(X?ki?1n??1(2) 求k,使?k?i?1Xi?X为?的无偏估计.
222解 (1) Xi?1?Xi?N(0,2?)，E(Xi?1?Xi)?D(Xi?1?Xi)?2?
? E?2?1n?1?ki?1E(Xi?1?Xi)?21k2(n?1)?22??
故k?2(n?1)．
1n1n?1n(2) Xi?X?(1?)Xi??nj?iXj?N(0,?)
2 EXi?X?????x2?1n?1n12?n?1n?n?12??2exp??x2??dx
n?? ?2?x0??n?12??2exp??x2??dx?n??2(n?1)n??
??1 E?kn?i?1EXi?X?1kn2(n?1)n??1k2n(n?1)???
9
所以k?2n(n?1)?．
2?是参数?的无偏估计,且有D(??不是?2的无偏估计. ?)?0,证明?12.设???D(??)?[E??]2?D(??)??2??2. 解 E?213.设从均值为?,方差为?2?0的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意a,b(a?b?1),Y?aX1?bX2都是?的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.
解 EY?E(aX1?bX2)?aEX1?bEX2?a??b??(a?b)???
D(Y)?D(aX1?bX2)?a222?2n1?b2?2n2?(a2n1a2?b2n2)?
2即在条件a?b?1下,求
an1?bn2的最小值.令L(a)?n1?(1?a)n22，求导得
dL(a)dan1?2an1?2(1?a)n2?0
解得a?n1?n2，b?n2n1?n2．
2214.设分别自总体N(?1,?)和N(?2,?)中抽取容量为n1,n2的两个独立样本.2222其样本方差分别S1,S2.试证,对于任何常数a,b(a?b?1),Z?aS1?bS2都是?2
的无偏估计,并确定常数a,b求求D(Z)达到最小.
222解 EZ?aES1?bES2?a??b?2?(a?b)?2??.利用
2
4(ni?1)Si2?2??(ni?1),i?1,2
2得D(S)?2i2?ni?1,i?1,2，所以
D(Z)?aD(S)?bD(S)?2(221222a2n1?1?b2n2?1)?
4 10