即在a?b?1下，求
a2n1?1?b2n2?1的最小值,求得a?n1?1n1?n2?2，b?n2?1n1?n2?2.
15.设总体X的密度函数为
??1,f(x;?)???0,???????,X1,X2,?,Xn为其样本.
??12?x???12
其它(1)求参数?的极大似然估计; (2)证明X及
12?X(1)?X(n)?都是?的无偏估计量,问哪个较有效?
解 (1) 似然函数为 L(?)?1,?? L(?)?1,??即满足条件X(n)?121212?X1,X2,?,Xn????X(1?)X12??)?(1212
n
???X(1)?的任何?都能使L(?)?1而达到最大值，从而?121n,X(1)?12??]，一般取?112n(??1212(X(1)?X(n))． 12)?2的极大似然估计是整个区间[X(n)?(2) EX?EX??，D(X)?X(1)的密度为
D(X)????112n．
1?1n?1?n(?x??)?,??x???;?)?2 f1(x?2?0,其它?X(n)的密度为
1 21n?11?)?,??x????n(x???;?)? fn(x?22?0,其它?(X(1),X(n))的密度为
11
1 2
11?n?2?n(n?1)(y?x),???x?y???f1n(x,y)??22?0,其它?nn?1???12,EXn
EX(1?)?
EX(1)?2?(nn?1)???12
nn?2?(??12)?22nn?1(??12),EX(n)?2nn?2?(??12)?22nn?1(??12)22 D(X(1))?EX(1)?[EX(1)]?n(n?2)(n?1)n(n?2)(n?1)n?22
D(X(n))?EX(2n)?[EX(n)]2?12
E(X(1)X(n))??????2??21y?12xyn(n?1)(y?x)dxdy?1n?2?(??12)(??12)
EX(1)EX(n)?n(n?1)2?(??12)(??121)
Cov(X(1),X(n))?E(X(1)X(n))?EX(1)EX(n)?n?2?n(n?1)2?1(n?1)(n?2)2所以
??E?12E(X(1)?X(n))??
?)?1D(X?X)?1[D(X)?D(X)?2Cov(X,X)] D(?(1)(n)(1)(n)(1)(n)44?1
?4(n?1)(n?2)12(n?1)(n?2)[n2?n(n?1)(n?2)2?2(n?1)(n?2)2]
当 n?1时，
12(n?1)(n?2)?112n，故
12?X(1)?X(n)?较X有效．
12
16.设总体X的密度函数为
?1?,f(x;?)????0,?X1,X2,X3为其样本,试证
0?x??其它(??0)
43X(3)及4X(1)都是参数?的无偏估计,问哪个较有效?
n?1nX(n)和(n?1)X(1)．
解 考虑一般情形，设X1,X2,?,Xn为样本，比较
X(1)的密度为
?n(??x)n?1,0?x???n f1(x;?)?? ??0,其它?X(n)的密度为
?nxn?1,0?x??? fn(x;?)???n
?0,其它?由此算得
EX(1?)所以
? E((n1()X1??))n?1,E(nn1n?1?,EXn?(nn?1)?
X??)()
又有
2 EX?(1)2(n?1)n?(n?(22?,22)EnX?(22n)?n2?
222? D((n1()X1)?)1D)X(?(1))?n2(E1(X)?[1)nEX(??(1) n?2)2]D(n?1nn?1nX(n))?(n?1)n2D(X(n))?(n?1)n2[EX(n)?(EX(n))]?221n(n?2)?
2故
X(n)较(n?1)X(1)有效，实际上
n?1n13
X(n)是?的最小方差无偏估计．
17.设总体X服从指数分布,其密密函数为
??e??x,x?0 (??0) f(x;?)??x?0?0,X1,X2,?,Xn为其样本(n?2).
?； (1) 求?的极大似然估计????为?的无偏估计； (2) 求k,使??k? (3) 求??1?的置信水平为1??的双侧置信区间.
解 (1) 似然函数为
n L(?)?似然方程为 ??解得?1X??ei?1??Xi??en??nX
?lnL(?)???n??nX?0
．
(2) Y?2?nX??2(2n)
E(1Y)???01n1
?y2?(n)yn?1e?y2dyy?(n?1?)212n?1
dy?12(n?1)?(n?1)n2?(n)??012n?1?(n?1)ye*???kE1?k2n?E(1)?2nk?E(1)?kn??? E??kE?X2n?XYn?1由此得k?n?1n．
2nX(3) 因
2nX???(2n)，由P{??(2n)?222???1??(2n)}?1??
22得的置信水平为1??的双侧置信区间为(
2nX?1??(2?)22,2nX??(2?)22)．
14
18.随机地从一批零件中抽取16个,测得长度(单位:cm)为
2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11
设零件长度的分布为正态,试求总体均值?的90%的置信区间:
(1)若??0.01；(2)若?未知.
解 设X为零件长度，则X?N(?,?)．
0.01160.01162(1) 当??0.01已知时，?的90%的置信区间为
(X??nu1??,X?2?nu1??)?(2.125?2?1.65,2.125??1.65)
?(2.121,2.129)(2) 当?未知时，?的90%的置信区间为 (X?Snt1??(15),X?2Snt1??(15))2?(2.125?0.01716?1.7531,2.125?0.01716
?1.753?(2.1175,2.1325)19.对方差?2已知的正态总体来说,问需抽取容量n为多大的样本,才能使总体均值?的置信水平为100(1??)%的置信区间的长度不大于2??
解 均值?的置信水平为100(1??)%的置信区间为
(X??nu1??,X?2?nu1??)
2要其长度 L?由此得
2?nu1???2?，得 n?2??22u1??．
2220.在一批铜丝中,随机抽取9根,测得其抗拉强度为:
578 582 574 568 596 572 570 584 578 设抗拉强度服从正态分布,求?的置信水平为0.95的置信区间.
解 设X为抗拉强度，则X?N(?,?),?的置信水平为0.95的置信区间是
2?(n?1)S2(n?1)S, ?2??1??(n?1)??2(n?1)?22
22
2
??8?748?74????,??(33.76,271.56) ??17.5352.18?? 15