2020年新课标高考数学一轮复习重点专题特训23 立体几何中的角度问题
一、选择题
1.在正方体ABCD?A1B1C1D1中, E是棱CC1的中点, F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F//平面D1AE, 记A1F与平面BCC1B1所成的角为, 下列说法正确的是个数是（ ）
①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④tan??22⑤当F与C1不重合时,平面A1FC1不可能与平面AED1平行
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C
2. 如图,点P是正方形ABCD?A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1, BC的夹角分别
为?1, ?2,若sin??1?50?? ?cos?140???2?,则满足条件的直线l（ ）
A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条 【答案】D
3.在四棱锥P?ABCD中, PA?平面ABCD,底面ABCD为矩形, AB?PA．若BC边上有且只有一个点
Q,使得PQ?QD,求此时二面角A?PD?Q的余弦值（ ）
1
A.
3 B. 33062 C. D. 666【答案】A
【解析】因为在四棱锥P?ABCD中, PA?平面ABCD,底面ABCD为矩形,由BC边上有且只有一个点
Q,使得PQ?QD,可得C边上有且只有一个点Q,使得AQ?QD,则以AD 为直径的圆与直线BC 相切,
设AD中点为O ,则QO?AD ,可得QO? 平面PAD ,作OH?PD 于H ,连接QH ,则?OHQ 是
二面角A?PD?Q的平面角,设AB?PA? a ,则AD?2a ,直角三角形QOH 中,可得OH
2 , 5QH=33OH3,二面角A?PD?Q的余弦值为,故选A. ,cos?QHO??3QH35
4.如图,在三棱锥A?BCD中,平面ABC?平面BCD, BAC与BCD均为等腰直角三角形,且
?BAC??BCD?90?, BC?2．点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30?的角,则线段PA长的取值范围是（ ）
?2?A. ?0,?2?? B.
??【答案】B
?6???0,3?? C. ???2???2,2?? D. ???6???3,2?? ??【解析】设BC的中点为O,连OA,因?BAC?90,BC?2?OA?1, 故建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz,
则O?0,0,0?,A?0,0,1?,B??1,0,0?,C?1,0,0?,P?s,0,t?,Q?1,m,0?(s0,t0,m?0),
2
0
则PQ??1?s,m,?t?,AC??1,0,?1?,PA???s,0,1?t?, 所以PQ?AC?1?s?t, PQ??1?s?2?m2?t2,AC?1?1?2, 62所以?1?s?2?m2?t2?2cos300?1?s?t,即2?1?s?2?m2?t2?1?s?t,
2也即3m2?4t?1?s???1?s??t2,由此可得3m2?4t?1?s???1?s??t2?0, 结合t?s?1可得41?s2?2?2s2?3s2?1,
??所以s?1,则PA?3??s???1?t?22?s2?s2?2s?6, 3即0?PA?6,应选答案B. 3
5. 如图,正四面体D?ABC的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox, Oy, Oz上,则在下列命题中,错误的是（ ）
A. O?ABC是正三棱锥 B. 直线OB与平面ACD相交
C. 直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为D. 异面直线AB和CD所成角是90?
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