第五节 两角和与差及二倍角的三角函数
[考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
(对应学生用书第57页)
[基础知识填充]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝
tan α±tan β
. 1?tan αtan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝2tan α. 1－tan2α3．有关公式的变形、逆用
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos2α＝
1＋cos 2α1－cos 2αsin 2α2
，sinα＝，sin αcos α＝222；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， ?π?
?. sin α±cos α＝2sin?α±?4?[知识拓展] 1．辅助角公式
b??
asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)?其中tan φ＝a?.
??
6－26＋2
2．sin 15°＝4，cos 15°＝4，tan 15°＝2－3. 1－cos ααsin α3．tan 2＝＝sin α.
1＋cos α1－tan2α2tan α
4．sin 2α＝，cos 2α＝. 1＋tan2α1＋tan2α
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
1－tan αtan β
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
3
A．－2 1C．－2
3B．2 1D．2
D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°1＋10°)＝sin 30°＝2，故选D．]
43．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝3，则sin 2α＝( )
7
A．－9 2C．9
4
A [∵sin α－cos α＝3，
16
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝9， 7
∴sin 2α＝－9.故选A．]
2B．－9 7D．9
4．函数 f(x)＝3sin x＋cos x的最小值为________． ?π?－2 [函数f(x)＝2sin?x＋6?的最小值是－2.]
??
5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. tan α＋tan βπ
[由已知可得＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，所以31－tan αtan βπα＋β＝3.]
(对应学生用书第58页)
2
(1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若cos θ＝3，θ为第四象限角，?π?
则cos?θ＋4?的值为( )
??A．C．
2＋10
62－10
6
B．
22＋10
622－10
6
三角公式的基本应用 D．
4
(2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角α，β满足sin α＝5，tan(α2
－β)＝3，则tan β＝________.
625?π?
(1)B (2)17 [(1)因为cos θ＝3，θ为第四象限角，则sin θ＝－3，故cos?θ＋4?
??222?25?22＋10
?＝2cos θ－2sin θ＝2×＋?＝，故选B．
6?33?
43sin α
(2)因为锐角α满足sin α＝5，所以cos α＝1－sin2α＝5，则tan α＝cos α＝42
－tan α－tan?α－β?3364
3，tan β＝tan[α－(α－β)]＝1＋tan αtan?α－β?＝8＝17.] 1＋9