3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第一课时 两角和与差的正弦、余弦公式
两角和的余弦公式 [提出问题]
问题1：把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？ 提示：α，β为任意角． [导入新知]
两角和与差的余弦公式
名称 两角和的余弦 公式 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α－β) C(α＋β) α，β∈R 简记符号 条件 两角差的余弦
[化解疑难] 公式C(α＋β)的推导
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)] ＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β，
即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
两角和与差的正弦公式 [提出问题]
问题1：由公式C(α＋β)或C(α－β)可求sin 75°的值吗？ 提示：可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 问题2：由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
?π
提示：可以，sin(α＋β)＝cos?－
?2
α＋β
? ??
- 1 -
??π??＝cos??－α?－β?＝sin αcos β＋cos αsin β. ??2??
问题3：能利用上述公式把sin(α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ 提示：能． [导入新知]
两角和与差的正弦公式 名称 两角和的正弦 两角差的正弦 [化解疑难]
两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别
(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反． (2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
公式 sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β 简记符号 S(α＋β) 使用条件 α，β∈R S(α－β) α，β∈R
给角求值问题 cos 20°[例1] (1)·cos 10°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°＝________.
sin 20°(2)求值：(tan 10°－3)[解] (1)2
cos 10°
(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)
sin 50°＝?＝
cos 10°
. sin 50°
?sin 10°－sin 60°?cos 10°
?
?cos 10°cos 60°?sin 50°
－cos 10°
·
cos 10°cos 60°sin 50°
＝－2. [类题通法]
解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的
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和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
[活学活用]
求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin2
80°. 答案：6
给值(式)求值问题 [例2] 已知π4<α<3ππ4，0<β<4，
cos??π?4＋α???＝－35，sin??3π?4＋β??5
?＝13. (1)求sin(α＋β)的值； (2)求cos(α－β)的值．
[解] (1)∵π3πππ
4<α<4，2<4
＋α<π，
∴sin??ππ?4＋α???
＝ 1－cos2
?
??4＋α???
＝45
. ∵0<β<π3π3π
4，4<4＋β<π，
∴cos?
?3π2
?4
＋β???
＝－ 1－sin?
?3π?4＋β???
＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin?????π?4＋α???＋??3π?4＋β??????
＝－sin??π?4＋α???cos??3π?4＋β???＋cos??π?4＋α???·sin??3π?4＋β??
?
＝－??4?5×???－1213???＋??3?－5??5?×?63
13??＝65
. (2)由(1)可知，
sin??π??4?4＋α?3π?＝5，cos??4＋β???＝－1213， ∴sin?????π?4＋α???－??3π?4＋β?????
?
＝sinπ4＋αcos3π4＋β－cosπ3π
4＋αsin4＋β
＝4?5×??－1213???－??3?－5??533?×13＝－65
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