高考大题专项一 函数与导数的综合压轴大题 突破1 利用导数求极值、最值、参数范围
1.已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
2.(2018山东潍坊一模,21)已知函数f(x)=aln x+x2. (1)若a=-2,判断f(x)在(1,+∞)上的单调性; (2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值.
3.(2018山东师大附中一模,21)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R). (1)当a=2时,求函数f(x)在x=0处的切线方程; (2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值.
4.(2018辽宁抚顺3月模拟,21改编)已知函数f(x)=ax-2ln x(a∈R).若f(x)+x3>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.
5.设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
6.(2018江西南昌一模,21改编)已知函数f(x)=ex-aln x-e(a∈R),其中e为自然对数的底数.若当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
突破2 利用导数证明问题及讨论零点个数
1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=. (1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.
2.(2018河北保定一模,21改编)已知函数f(x)=x+.设函数g(x)=ln x+1.证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).
3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.
4.(2018安徽芜湖期末,21改编)已知函数f(x)=x3-aln x(a∈R).若函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.
5.设函数f(x)=e2x-aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数; (2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.
6.(2018衡水中学押题三,21)已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R,曲线y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.
(1)求函数y=f(x)的解析式; (2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
高考大题专项一 函数与导数的综合压轴大题 突破1 利用导数求极值、最值、参数范围
1.解 (1)由题意知f'(x)=(x-k+1)ex.
令f'(x)=0,得x=k-1.
当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)的递减区间是(-∞,k-1),递增区间是(k-1,+∞). (2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0 当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当1 (2)f'(x)=2x+ , ,当a≥0时f'(x)≥0,f(x)在[1,e]上递增,∴fmin(x)=f(1)=1. (负值舍去),设x0= . 当a<0时,由f'(x)=0解得x=± 若≤1,即a≥-2,也就是-2≤a<0时,x∈[1,e],f'(x)>0,f(x)递增, ∴fmin(x)=f(1)=1. 若1< +aln . 故fmin(x)=f(x0)=- 若≥e,即a≤-2e2时,x∈[1,e],f'(x)<0,f(x)递减. ∴fmin(x)=f(e)=e2+a. 综上所述:当a≥-2时,f(x)的最小值为1;当-2e2 因为a=2,所以f(x)=(x-2)ex,f'(x)=ex(x-1). 所以f(0)=-2,k=f'(0)=e0(0-1)=-1. 所以所求的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)由题意得f'(x)=ex(x-a+1),令f'(x)=0,可得x=a-1. ①若a-1≤1,则a≤2,当x∈[1,2]时,f'(x)≥0,则f(x)在[1,2]上递增. 所以f(x)min=f(1)=(1-a)e. ②若a-1≥2,则a≥3,当x∈[1,2]时,f'(x)≤0,则f(x)在[1,2]上递减. 所以f(x)min=f(2)=(2-a)e2. ③若1 所以f'(x),f(x)随x的变化情况如下表: x (1,a-1) a-1 (a-1,2) f'(x) - 0 + f(x) 递减 极小值 递增 ;