导数及其应用
导数的运算
1. 几种常见的函数导数：
①、c?? （c为常数）； ②、(x⑤、(axn)?? （n?R）； ③、(sinx)?= ；④、(cosx)? = ；
)?? ； ⑥、(ex)?? ； ⑦、(logax)?? ； ⑧、(lnx)?? . '2. 求导数的四则运算法则：
?v'??u?uv'uvu?uv?u???????(u?v)?u?v；(uv)?uv?uv；)???(? (v?0)注：① u,v必须是可导函数. 22v?v?vv
*3. 复合函数的求导法则： fx(?(x))?f?(u)???(x) 或 yx?yu?ux
????一、求曲线的切线（导数几何意义）
导数几何意义：函数y
1.（2009全国卷Ⅱ理）曲线y?f?(x0)表示函数y?f(x)在点(x0，f(x0))处切线L的斜率；
?f(x)在点(x0，f(x0))处切线L方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
x在点?1,1?处的切线方程为 2x?1
( )
A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0 2.【2012高考广东理12】曲线y=x3－x＋3在点（1，3）处的切线方程为 ．
变式一：
3.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线
2y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为
A．4 B．? ( )
11 C．2 D．? 4224.【2009安徽卷理】已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处
的切线方程是
( )
A.y?2x?1 B.y?x C.y?3x?2 D.y??2x?3
变式二：
5.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在
点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 6.【2009陕西卷理】设曲线y?xn?13(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则
a1?a2??a99的值为 .
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4上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?的取值范围是 xe?1???3?3?? A、[0,) B、[,) C、(,] D、[,?)
422444
变式三：
7.（2010辽宁理数）已知点P在曲线y=
8.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y =x＋1与曲线y?ln(x?a)相切，则α的值为( )
A.1 B. 2 C.－1 D.－2 9.【2009江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和y?ax2?
315x?9都相切，则a等于 4
( )
A．?1或-77252125 B．?1或 C．?或- D．?或7
4464464?121???10.（2010全国卷理数2）若曲线y?x在点?a,a2?处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a?
??A、64 B、32 C、16 D、8 11.【2012高考安徽理19】（本小题满分13分） 设f(x)?ae?（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；
（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?12. 【2009福建卷理】若曲线
x1?b(a?0). aex3x；求a,b的值. 2f?x??ax2?Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .
二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数y?f(x)在某个区间D内可导，
如果f?(x)＞0，则y?f(x)在区间D上为增函数； 如果f?(x)＜0，则y?f(x)在区间D上为减函数； 如果f?(x)=0恒成立，则y?f(x)在区间D上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式f?(x)＞0的解集与函数y?f(x)定义域的交集，就是y?f(x)的增区间；不等式f?(x)＜0的解集与函数y?f(x)定义域的交集，就是y?f(x)的减区间.
1、函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是
x ( )
A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)
2.（2009江苏卷）函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为 . 3.（2009安徽理）（本小题12分） 已知函数f(x)?x?322?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性. x第 2 页 共 22 页
4.【2009天津卷理】（本小题满分12分）已知函数f(x)?(x?ax?2a?3a)e(x?R),其中a?R
(1)当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率； (2)当a?
22x2时，求函数f(x)的单调区间与极值. 3
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时，
① 如果在x0附近的左侧f?(x)＞0，右侧f?(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ② 如果在x0附近的左侧f?(x)＜0，右侧f?(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 也就是说x0是极值点的充分条件为x0点两侧导数异号，而不是f?(x)=0. 2、最值的求法：求f (x)在[a，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；
(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.
注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.【2012高考陕西理7】设函数f(x)?xe，则（ ）
A. x?1为f(x)的极大值点 B.x?1为f(x)的极小值点 C. x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点[学 2.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数
xf(x)?x3?3x2?1在x? 处取得极小值.
3.【2012高考重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设f(x)?alnx?13?x?1,其中a?R，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. 2x2（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的极值.
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