利率的期限结构模型
摘要：本文试图用最简练和容易理解的表述，介绍关于期权定价的鞅方法的一些主要思想以及基本结论。稍微涉及到了一些偏微分方程的知识，但大都比较容易理解。主要是针对那些并不是专业的研究者，但是仍然对此感兴趣并想了解期权定价理论的读者。 关键词：期权定价 鞅测度 到期（交割） 套期保值 未定权益
Black-Scholes模型把利率假定为一个常量或者确定的函数，对于短期的类股票（stock-like）资产，它是一种可以接受的近似。但是，对于利率的衍生物，它却并不是合理的假设，因此我们必须解决这个随机利率的问题。建立利率的期限结构模型有几种不同的方法，它们可以分为两种：短期利率模型和远期利率模型。这两种方法分别由Vasicek（1977）和Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)最早提出。Flesaker和Hughston在1996年引入了一种新的方法建立利率的期限结构模型，我们将介绍这三种方法，其中包括一些著名的模型，而且会对一些利率衍生物的定价问题进行简要讨论。我们省略关于保值的讨论，读者可参阅Duffie(1996)，p140-141。Rogers在1997年提出了关于利率的期限结构和外汇利率的“潜在方法（potential approach）”，我们不介绍这个综合性方法，因为它在某种程度上超出了我们的范围。 1.债券市场
我们建立一个贯穿始终的坐标横轴[0,T]，考虑在一个完备概率空间(?,F,P)上的二维布朗运动B，用Ft表示B的自然域流（natural filtration）。
我们考虑一个金融市场，称为债券市场，它包括银行的存款和所有可能到期的贴现债券(或零息债券)。我们称不支付任何股息，以低于交割期面值的价格售出的金融债券为贴现债券。以下我们称在时刻s到期的贴现债券为s-债券，它在时刻t的价格记为P(t,s)，假定
P(s,s)等于1（也就是一单位的银行存款）。
当时间t?s时，一个s-债券的到期收益（或简称收益）定义为
Y(t,s)??log(P(t,s)) (1)
s?t它是在当前时刻t对利率的未来价值的一种测度。在不同的到期时刻得到不同的收益，这反映了关于未来利率的市场观念。在时刻t上的收益曲线就是Y(t,s)靠近s的轨迹，收益曲线对于到期时间s?t的依赖关系，称为利率的期限结构。在时刻t上的短期价格r(t)定义为lims?t,s?tY(t,s),当然，前提是这个极限存在的话。以后，我们假定r(t)对所有的t?[0,T]都成立且可测，此外，
?T0r(t)dt??。
如果P(t,s)关于s可微，那么就有另一种关于利率的未来价值的衡量方法叫做远期利率f(t,s)，它的定义如下
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f(t,s)???logP(t,s)(?P(t,s))/?s?? (2)
?sP(t,s)知道远期利率，可以重新写出债券价格P(t,s)
P(t,s)?exp{??f(t,u)du} (3)
ts利率衍生物是一种金融契约，它的支付由未来的利率或者债券价格决定，因而具有随机
性。为了能够给利率衍生物定价，我们需要在它有效期间内对利率或者债券价格建立动态行为模型，基本的原理是假定债券市场不存在套利。如果P(t,s)t?s是确定的光滑函数，那么在无套利的情况下，P(t,s)必须具有如下形式
P(t,s)?exp{??r(u)du}
ts这里r(t)是时刻t上的短期利率。它表示在这种情况下，债券价格完全由短期利率决定。但是，在不确定的情况下，这不再成立。事实上，假设给定我们短期利率过程r(t),它是一个可测的Ft适应非负过程。如果P是等价于E的一个概率测度，我们写成
**P(t,s)?E*{exp[??r(u)du]Ft},t?s?T （4）
ts那么P(t,s)t?s,s?T定义为债券价格，而P是这个债券市场的等价鞅测度。所以不同的等价概率测度导出不同的债券价格模型。我们将会在下段的讨论中看到对一种等价概率测度的选择依赖于对市场风险价格的指定。 2.短期利率模型 （1）单因素模型
我们假定短期利率过程r(t)是建立在目标概率测度P下的扩散过程
*dr(t)??0(t,r(t))dt??(t,r(t))dBt,t?T （5）
这里Bt是一维布朗运动。因为在方程(5)里唯一的状态变量是短期利率，我们称这种模型为单因素模型(one-factor model)。为了建立关于这个债券市场的短期利率模型，我们首先选择一个适当的等价于P的概率测度P，作为债券市场的等价鞅测度，然后，根据风险中性价值公式(4)建立债券价格过程。为简单起见，我们只考虑那些等价概率测度P，它们关于P的Radon-Nikodym衍生物有如下形式
TdP*1T?exp{???(u,r(u))dBu???2(u,r(u))du}, （6）
0dP20**- 2 -
这里?(t,x)是在[0,T]?R上的波雷尔函数。因此，选择的概率测度包含了指定的函数
?。后者可用市场数据加以估计，因为?(t,r(t)),0?t?s是s-债券的风险市场价格。一旦
我们知道了函数?，在(5)中建立的短期利率过程r(t)可以重新用“风险中性”的语言建立，如下
dr(t)??0(t,r(t))dt??(t,r(t))dBt*,t?T （7）
这里?(t,x)??0(t,x)??(t,x)?(t,x)，Bt*是一个一维的P-布朗运动,并且
*Bt*?Bt???(u,r(u))du.
0t通过Feynman-Kac公式我们知道，在一些规范的条件下，s-债券的定价过程可以表示为
P(t,s)?F(t,r(t);s)，这里F(t,x;s)是一个在[0,T]?R上的C1,2函数，并且对于任意给
定的s?[0,T]，它是如下偏微分方程的唯一解
1Ft(t,x;s)??(t,x;s)Fx(t,x;s)??(t,x)Fxx(t,x;s)?rF(t,x;s)?0 （8）
2终值条件是F(s,x;s)?1。
作为单因素模型的例子，我们现在给出两个最著名的模型：Vasicek模型和CIR模型。在Vasicek模型中，假定短期利率过程r(t)在风险中性条件下（也就是在等价鞅测度空间P中）满足以下形式的随机微分方程（SDE）
*dr(t)?a(b?r(t))dt??dBt*， （9）
这里a，b，?是正的常数，Bt*是P下的布朗运动，这样的一个过程称为Ornstein-Uhlenbeck过程。短期利率看起来好像是股票的价格，但是两者之间重要的区别之一是短期利率在整个时间上总会趋向于某个长期平均水平，一个著名的现象是均值回归（mean reversion）。实际上，如果市场风险价格是一个常数?，那么从（9）我们可以知道短期利率在利率a被拉向水平b?*??a?at，因为Bt*?Bt??t。容易验证（9）的唯一解是
tasr(t)?r(0)e?at?b(1?e?at)??e?e0dBs* （10）
因为r(t)是正态分布，但如果出现P(r(t)?0)?0，这显然不合理。不过这个模型有一个优点是它给出了s-债券价格的一个明确的表达式
P(t,s)?eA(t,s)?B(t,s)r(t) （11）
这里
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1?e?a(s?t)B(t,s)? （12）
a(B(t,s)?st)(a2b??2/2)?2B(t,s)2A(t,s)?? （13） 24aa这些公式既可以通过解方程（8）得到，也可以用（10）计算（4）的条件期望值得到。
正像上面所提到的，Vasicek模型的一个缺点是短期利率可能为负值。为了解决这个问题，Cox-Ingersoll-Ross（1985）建议在风险中性范围内用如下的随机微分方程对短期利率行为建立模型
dr(t)?a(b?r(t))dt??r(t)dBt* （14）
这里a，b，?是正的常数，方程（14）有唯一解，而且必是非负的。通过解方程（8）我们得到了对于s-债券价格的相同的表达式（11），这里
2(e?(s?t)?1) （15） B(t,s)??(s?t)(??a)(e?1)?2?A(t,s)?这里??2ab?22?e(a??)(s?t)/2log[] （16） ?(s?t)(??a)(e?1)?2?a2?2?2。
两个模型里，B(t,s)和A(t,s)都是关于s和t的确定的函数，并且债券价格有（11）的形式。收益曲线Y(t,s)在时刻t是关于短期利率r(t)的线性函数：
Y(t,s)?1[B(t,s)r(t)?A(t,s)]。 s?t因此，二者均为仿射期限结构（affine term structure）。这种模型的收益曲线的形状可能是上扬，下倾，以及轻微隆起。详细的讨论建议读者参考Duffie（1992）。
实际上，专业人士利用短期利率的历史数据估计参数b、a、?的值，然后在这些估计出来的参数的基础上计算出一组可交易的债券和期权的价值，把这些值同市场价值比较，最后再调整参数的值，反复进行这样的过程直到模型能很好的符合历史数据。不过，调整参数的值是很困难的，因此只要债券价格符合当日债券价格的观测值就可以了。为了克服这个缺点，Hull和White（1990）把这个模型扩展到具有依存于时间系数的情形：
dr(t)?(?(t)?a(t)r(t))dt??(t)dBt*，
dr(t)?(?(t)?a(t)r(t))dt??(t)r(t)dBt*
这些扩展模型同样具有仿射期限结构（affine term structure）。 （2）多因素模型
前面介绍的单因素短期利率模型给出了债券价格的明确的表达式，但这些模型不能很好地符合实际的利率运动情况。更贴近实际的短期利率模型应该包含一些其他的经济变量，比如长期利率，特定数量债券的收益，短期利率浮动率等等。我们用一个多维布朗运动来描述
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不确定性，这样的模型称为多因素模型。
第一个多因素模型是由Brennan和Schwartz（1979）提出的二维扩散模型，其中的状态变量是短期利率长期利率，后者用联合公债价格的倒数来描述。联合公债是一种没有最终到期日的特殊的有息债券。然而，Dybvigetal（1996）得出的一个结果告诉我们长期利率不会下降，因此不能用扩散来建立模型。Chen在1996年提出了一个三因素模型，这个模型除了短期利率，还引入了另外两个因素，短期平均利率和短期利率浮动率。
最近几年，许多论文研究所谓的高维平方型Guass-Markov过程模型，描述如下
dXt?(a(t)?CtXt)dt??tdBt*,12r(t)?Xt,2*
这里Bt*是等价鞅测度空间P下的d维布朗运动，?，C是定义在R上的R?R明度函数，而a是R上的明度函数。这个模型的优点是能够导出确切的债券价格公式，建议读者参考Rogers（1995）。 3.HJM模型
Heath，Jarrow和Morton在1987年提出了另一种建立期限结构模型的方式（参见Heath-Jarrow-Morton（1992））。HJM模型根据远期利率来描述期限结构模型。通过这种方式，模型就可以自动适合当前的收益曲线。Ho和Lee在1986年提出类似HJM模型的离散时间模型。已知远期利率的一个随机模型f，我们假定r(t)?lims?t,s?tf(t,s)定义了时刻t上的短期利率，对于给定的到期日s，在风险中性的范围内，可以用Ito过程表示远期利率的HJM模型
*f(t,s)?f(0,s)???(u,s)du???(u,s)dBu,t?s （17）
00*这里(Bt*)是等价鞅测度空间P下的d维布朗运动,{?(t,s):0?t?s}和
d?ddtt{?(t,s):0?t?s}是分别取值在R和Rd上的可测度适应过程，这样（17）可以很好的定
义为一个Ito过程。初始远期曲线f(0,s)是确定的，并且满足条件假定r(t)是利率过程，则
?T0f(0,u)du??。
Wt?E{exp[??r(u)du]Ft}?exp[??r(u)du]P(t,s)
00*st因为(Wt)0?t?s是一个严格正鞅，由布朗运动的鞅表示法则，存在一个R上的适应过程Ht，满足
d1t2Wt?W0exp{?H(u,s)dB??H(u,s)du}
020t*u也就是
dtP(t,s)?P(t,s)[r(t)dt?H(t,s)dBt*] （18）
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