另一方面，由（4），有
Wt?exp[??r(u)du??f(t,u)du]
00ts因此，通过比较logWt的两个表达式的鞅部分，在一些理论条件下确保Fubini定理的实用性，我们得到
H(t,s)???(t,u)du （19）
ts由此，?(t,s)必可表示为
?(t,s)??(t,s)???(t,u)du （20）
ts如果想了解更详细的证明，读者可以参见Duffie(1996)，p.151-153。由（17）和（20）我们得到
* r(t)?f(0,t)???(v,t)???(v,u)dudv???(v,t)dBv0v0ttt特别的，当?(t,s)是一个常量时，我们可以得到Ho-Lee模型的连续时间极限
dr(t)??(t)dt???dBt*
这里
?(t)??2t
4.Flesaker-Hughston模型
Flesaker和Hughston于1996年提出了利率的期限结构新的建模方法，这种方法的关键在于对（4）的观察：s-债券的价格过程P(t,s)由（4）定义，使
?t?dPdP*Ft,0?t?T
则根据Bayes法则，
P(t,s)?AtE[AsFt],s?t, （21）
这里
s?1As??sexp{??r(?)d?} （22）
0因为?t是一个P-鞅，所以At是一个上鞅，而表达式（22）只是上鞅At的数量积分解。现在假设At是严格正的P-上鞅，债券价格P(t,s)由（22）规定，如果上鞅A的数量积分解具有（22）的形式，其中?是一个P-上鞅，r是非负过程，那么相应的短期利率过程必是r，并且具有密度过程?的概率测度P是具有不同到期时间债券的价格过程的等价鞅测度。举个例子来说，令
?1
*At?f(t)?g(t)Mt,t?[0,T], （23）
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这里f,g:[0,T]?R?是严格正的递减函数，且f(0)?g(0)?1，Mt是定义在域流概率空间（filtered probability space）(?,F,Ft,P)上的严格正的鞅，且M0?1。然后由（21）立即可以得到
P(t,s)?f(s)?g(s)Mt,t?[0,s] （24）
f(t)?g(t)Mt这个模型可以轻松的适合初始曲线：它只要选择这样的f和g就可以了
P(0,s)?f(s)?g(s),s?[0,T] （25）
为了得到短期利率的清晰的表达式，我们假定Ft是布朗运动Bt中性流，因为Mt是严格正鞅，它必须具有形式Mt??(??B)t，这里?是适当的可测过程。令At??tCt是上鞅
A的数量积分解，这里?t为严格正的局部鞅，C是严格正的递减过程且?0?C0?1，?t必
须具有?t??(??B)t的形式，因此由 Ito公式，我们有
?tdCt?Ct?t?tdBt?dAt?f'(t)dt?Mtg'(t)dt?g(t)Mt?tdBt （26）
通过比较（26）两边的dBt项和剩余项，我们发现
?t??tg(t)Mtf(t)?g(t)Mt
dCt?Ctf'(t)?g'(t)Mtdt （27）
f(t)?g(t)MtdP***?1??T因此，如果?是一个鞅并且我们由定义一个概率测度P，那么P是一个唯一的dP概率测度，满足
P(t,s)?Ct?1E*[CsFt] （28） Ct可以由（27）解出，结果是 Ct?exp{?t0f'(?)?g'(?)M?d?}
f(?)?g(?)M?由（28）我们可以得到短期利率过程r(t)的一个清晰的表达式
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r(t)??f'(t)?g'(t)Mt （29）
f(t)?g(t)Mt特别的，容易证明r(t)?f(t,t)，这里f(t,s)是远期利率。
Flesaker-Hughston模型的主要优点是我们可以直接用上鞅A表示利率衍生物?在时刻t的价格（到期时刻s?T）
Vt?At?1E[?AsFt],?t?[0,s] （30）
通过这个方程可以得到一些利率衍生物价格的显式表达式，例如具有上限的衍生物（cap）和可交换的衍生物（swaptions），建议读者参阅Rutkowski（1997）。 5.利率衍生物的定价
给到期日为T的利率衍生物定价，有两种计价单位：银行存款和T-债券。当一个衍生物同利率相关且模型由Ito随机微分方程给出（比如Vasicek模型或者CIR模型），我们选择银行存款作为计价单位。在此种情况下可以得到，利率衍生物的价值表达式可以从一个偏微分方程解出。假设短期利率过程服从由（14）给出的单因素模型，考虑在到期日??T下的
*利率衍生物，它在任何t??下有股息并且最终支付为g(?,r(?))。由等价鞅测度P的定义，
给出时刻t上衍生物的价值
F(t,r(t))?E[??t,sh(s,r(s))ds??t,?g(?,r(?))Ft] （31）
t*?这里?t,s?exp{?r(u)du}。在合适的条件下，Feynman-Kac公式保证F可以解下面的偏
t?s微分方程
DF(t,x)?xF(t,x)?h(t,x)?0,(t,x)?[0,?)?Rd （32）
满足边界条件
F(?,x)?g(?,x),x?Rd （33）
这里
DF(t,x)?Ft(t,x)?Fx(t,x)?(t,x)?1Fxx(t,x)?(t,x)2 （34） 2T-债券在时刻t上的值由P(t,T)?f(t,r(t))给出，特别的，这里f是方程（32）在h?0并且满足边界条件f(?,x)?1的解。
现在我们假定利率期限结构由HJM表示，在此种情况下我们把T-债券作为计价单位，更精确的说，令P(t,T)是时刻t的债券价格。在
?0?1的时候我们定义
?t?P(t,T)/P(0,T)为T-债券的规范化形式，把?t作为计价单位，用?t表示银行存款的
价值过程。现在我们要找一个概率测度Q，满足：由计价单位?t贴现的银行存款的价值过
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程是一个Q-鞅。最后，我们定义(?,FT)上概率测度Q
dQ?T1 ??*?TP(0,T)?TdP因为P-鞅显然有
*Lt?E*[?tdQP(t,T) F]??t*P(0,T)?t?tdP?t/?t是Q-鞅。现在由（16）有
dLt?LtH(t,T)dBt*
因此由Girsanov定理，
t*?Bt?Bt??H(u,T)du
0是一个d-维Q-布朗运动。如果一个到期时刻为T利率衍生物只有最终支付?，则由Bayes法则它的时刻t的价值可以给出为
1?1Vt??tE*[?T?1?Ft]??tL?tEQ[LT?T?Ft]?P(t,T)EQ[?Ft]
以下是著名的利率衍生物的一些例子，它们都用到了以上提到的估价方法。
（1） 一个具有预购股票价格K的欧式看涨期权是一个契约，它的最终支付为
(P(?,T)?K)?。
（2） 利率交换是发生在两对立方（比如A和B）的一种契约，他们进行一系列的现金支付交易。A同意以固定的利率支付B，以浮动的利率回收。理论上，本金用于决定支付的多少，并且没有本金的交易。从A的观点来看这是利率的衍生物，它以价格h(t,r(t))?r(t)?r**支付股息，这里r是达成一致的时刻零上的固定利率。容易看出，时刻t的交换价值是
Vt?1?P(t,?)?r*?P(t,s)ds。
t?（3） 利率上限是一种金融手段，它为浮动利率债务有效地设置一个利率偿还的最大值。换句话说，上限就是具有可变利率的贷款，这个利率被限制在某个水平r下。如果我们假定短期利率r(t)服从方程（14），那么那么贷款的每单位本金以及上限的价值由（31）和（32）给出，此时h(t,x)?min(x,r)，g(?,x)?1。
（4） 利率下限是一种金融手段，它为浮动利率债务有效地设置一个利率偿还的最小值。当最终支付为1时,它是一个把最低的max(r(t),r)作为股息价格的未定权益。
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（5） 利率约束（interest rate collar）是在具有相同的支付日期和重置区间的情况下，从长期考虑时利率有一个上限，从短期考虑时利率有一个下限。 6.远期价格和未来价格
现在考虑具有到期T的远期契约，它是关于一个单位的特别资产的，这个资产价格过程为St。假定短期利率过程r(t)是有界的，并且贴现过程St是一个在等价鞅测度P下的鞅。令Ft是优先资产在时刻t的远期价格，那么通过定义知道这个契约在到期T的支付为
*ST?Ft，因为这个远期契约在时刻t的价值应该为0，我们有 0?E[exp{??r(s)ds}(ST?Ft)Ft]
tT因而，
Ft?E*[exp{??r(s)ds}STFt]tTE[exp{??r(s)dsFt]t*T，
它给出了
Ft?St （35）
P(t,T)现在，我们研究未来价格。考虑一个到期为T的未来契约，这个契约是关于某一特殊资产的单位资产的，它具有价格过程St。令?t是标的资产在时刻t上的未来价格，假定介于时间段(t,T]的支付发生在时刻t1?t2??tN?T，由于未来契约在时刻t的价值为零，我们必有
0?E[?exp{??r(s)ds}(?ti??ti?1)Ft]，
*i?10Nti这里t0?t,?T?ST。为了得到?t的精确值，我们考虑一个理想的连续支付，在这种情况下，我们应该有
0?E*[?Ysd?sFt]，
tT这里Ys?exp{?它意味着积分?Yd??r(?)d?}，
00ssts是一个P-鞅。因为存在常数k1,k2?0*满足k2?Y?k1，所以?t也是一个鞅。因此我们有
?t?E*[?TFt]?E*[STFt] （36）
从（35）和（36）我们看到如果r和ST是独立的，那么远期价格和未来价格是一致的，举个例子来说，当r是一个确定的函数时，结论成立。
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