1．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念
学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
知识点一 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬
山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐
标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
Δyy2－y1
答案 对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．Δxx2－x1
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy
(1)定义式：＝错误!.
Δx
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化
率
Δy
＝错误!表示割线P1P2的斜率．Δx
2
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平
答案 Δs＝5(1＋Δt)－5＝10Δt＋5(Δt)，v＝
2
2
均速度．
Δs
＝10＋5Δt.Δt
思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
答案 当Δt趋近于0时，
Δs
趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．Δt
梳理 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为Δs
＝错误!.如果Δt无限趋近于0时，错误!无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于Δt
ΔsΔs0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝Δlimt→0ΔtΔt
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率Δlimx→0
＝
Δlimt→0错误!.
知识点三 函数在某点处的导数
Δy
＝lim错误!，我们称它为函数y＝f(x)在ΔxΔx→0
，即f′(x0)＝Δlimx→0
Δy
＝lim错误!.ΔxΔx→0
x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )
2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关．( √ )
类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率
12
例1 求函数y＝f(x)＝x在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均
3变化率最大？
考点 变化问题与变化率 题点 变化率大小的比较 解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝错误!＝错误!
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝错误!＝错误!
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝错误!＝错误!
＝6＋Δx.
117
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
333
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1 (3)得平均变化率＝错误!. Δx 跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)＝x＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－Δy 1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________. Δx (2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 2 1 313311933 考点 平均变化率 题点 函数的平均变化率 13 答案 (1)Δx (2)24Δy 解析 (1)＝错误! Δx ＝错误!＝Δx. (2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为错误!＝错误!＝错误!. x＋3??，－1≤x≤1，由函数f(x)的图象知，f(x)＝?2 ??x＋1，1 所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为错误!＝错误!＝错误!.