微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1.极限lim[(3t2?1)i?t3j?k]?13i?8j?k.

t?22.设f(t)?(sint)i?tj,g(t)?(t2?1)i?etj,求lim(f(t)?g(t))? 0 .

t?03.已知?r(t)dt=??1,2,3?, ?r(t)dt=??2,1,2?,a??2,1,1?,b??1,?1,0?,则

2446?42a?r(t)dt+b??a?r(t)dt=?3,?9,5?.

264.已知r?(t)?a(a为常向量),则r(t)?ta?c.

15.已知r?(t)?ta,(a为常向量),则r(t)? t2a?c.

26. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线r?r(t)在t = 2处有??3?,则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点(u0,v0)处ru?rv?0,则(u0,v0)为曲面的_ 正常______点. 12. 已知f(t)?(2?t)j?(lnt)k,g(t)?(sint)i?(cost)j,t?0,则?13.曲线r(t)??2t,t3,et?在任意点的切向量为?2,3t2,et?. 14.曲线r(t)??acosht,asinht,at?在t?0点的切向量为?0,a,a?. 15.曲线r(t)??acost,asint,bt?在t?0点的切向量为?0,a,b?.

d (f?g)dt?2?6cos4.

dt041x?ee?z?1. 16.设曲线C:x?et,y?e?t,z?t2,当t?1时的切线方程为?1e2?ey?17.设曲线x?etcost,y?etsint,z?et,当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________. 19. u-曲线(v-曲线)的正交轨线的微分方程是 _____ Edu+Fdv=0(Fdu+Gdv=0)__. 20. 在欧拉公式kn?k1cos2??k2sin2?中,?是 方向(d) 与u-曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式?,??,???、高斯曲率?、平均曲率?之间的关系是????2H???K??0 . 22.已知r(u,v)??u?v,u?v,uv?,其中u?t2,v?sint,则23.已知r(?,?)??acos?cos?,dr??2t?cost,2t?cos,2tvt?ucostdt ?.

acos?sin?,asin??,其中??t,??t2,则

1

dr(?,?)???asin?cos??2atcos?sin?,dt?asin?sin??2atcos?cos?,acos??.

24.设r?r(u,v)为曲面的参数表示,如果ru?rv?0,则称参数曲面是正则的;如果r:G?r(G) 是 一一对应的 ,则称曲面是简单曲面.

25.如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为 正规坐标网 . 26.平面r(u,v)??u,v,0?的第一基本形式为du2?dv2,面积微元为dudv.

27.悬链面r(u,v)??coshucosv,coshusinv,u?第一基本量是E?cosh2u,F?0,G?cosh2u. 28.曲面z?axy上坐标曲线x?x0,y?y0的交角的余弦值是a2x0y0(1?ax0)(1?ay0)2222.

29.正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的第一基本形式是du2?(u2?b2)dv2. 30.双曲抛物面r(u,v)??a(u?v),b(u?v),2uv?的第一基本形式是

(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2. 31.正螺面r(u,v)??ucosv,usinv,bv?的平均曲率为 0 .

32.方向(d)?du:dv是渐近方向的充要条件是kn(d)?0或Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0. 33. 方向(d)?du:dv和(δ)?δu:δv共轭的充要条件是

II(dr,δr)?0或Lduδu?M(duδv?dvδu)?Ndvδv?0.

?E?L34.?是主曲率的充要条件是

?F?M?F?M?0.

?G?NEdu?FdvLdu?Mdvdv2?0或EL?dudvdu2FMG?0. N35.(d)?du:dv是主方向的充要条件是

Fdu?GdvMdu?Ndv36. 根据罗德里格斯定理,如果方向(d)?(du:dv)是主方向,则

dn??kndr,其中kn是沿方向(d)的法曲率. 37.旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面.

38.测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率. 39.k,kg,kn之间的关系是k2?kg2?kn2.

40.如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为 0 . 41.正交网时测地线的方程为

2

EvGu?d?=cos??sin??ds2EG2GE??ducos?. ?=E?ds?dvsin??=G?ds42.曲线是曲面的测地线,曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题

1.已知r(t)??et,t,e?t?,则r??(0)为( A ).

A. ?1,0,1?; B. ??1,0,1?; C. ?0,1,1?; D. ?1,0,?1?. 2.已知r?(t)??r(t),?为常数,则r(t)为( C ).

A. ?ta; B. ?a; C. e?ta; D. e?a. 其中a为常向量.

3. 曲线(C)是一般螺线,以下命题不正确的是( D ).

A.切线与固定方向成固定角; B.副法线与固定方向成固定角; C.主法线与固定方向垂直;

D.副法线与固定方向垂直.

4. 曲面在每一点处的主方向( A )

A.至少有两个; B.只有一个; C.只有两个; D.可能没有. 5.球面上的大圆不可能是球面上的( D )

A.测地线; B.曲率线; C.法截线; D.渐近线.. 6. 已知r(x,y)??x,y,xy?,求dr(1,2)为( D ).

A. ?dx,dy,dx?2dy?; B. ?dx?dy,dx?dy,0?; C. ?dx-dy,dx+dy,0?; D. ?dx,dy,2dx?dy?. 7.圆柱螺线r??cost,sint,t?的切线与z轴( C ).

A. 平行; B. 垂直; C. 有固定夹角

??; D. 有固定夹角. 438.设平面曲线C:r?r(s),s为自然参数,?,?是曲线的基本向量.叙述错误的是( C ).

A. ?为单位向量; B. ???; C. ???k?; D. ???k????. 9.直线的曲率为( B ).

A. -1; B. 0; C. 1; D. 2.

10.关于平面曲线的曲率C:r?r(s)不正确的是( D ).

A. k(s)??(s); B. k(s)??(s),?为?(s)的旋转角; C. k(s)?????; D. k(s)?|r(s)|.

11.对于曲线,“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的( D ).

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