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（Ps：请各位师兄弟姐妹们抄的时候注意改动一下，尽量不要太雷同）
0.25000000000000 0.39024390243902 0.34264123439789 0.38048738140327 0.39024390243902 0.42500000000000 0.39024390243902 0.30000000000000 0.30769230769231 0.23534659131080 0.29735691695860 0.30769230769231 0.35000000000000 0.30769230769231 0.35000000000000 0.24615384615385 0.19058046675376 0.24054799403464 0.24615384615385 0.27500000000000 0.24615384615385 0.40000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.20000000000000 0.45000000000000 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.17500000000000 0.16494845360825 0.50000000000000 0.13793103448276 0.25375545726103 0.14004371555730 0.13793103448276 0.15000000000000 0.13793103448276 0.55000000000000 0.11678832116788 0.21559187891257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.12500000000000 0.11678832116788 0.60000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.10000000000000 0.65000000000000 0.08648648648649 -0.07260420322418 0.08589776360849 0.08648648648649 0.08970588235294 0.08648648648649 0.70000000000000 0.07547169811321 -0.22619628906250 0.07482116198866 0.07547169811321 0.07941176470588 0.07547169811321 0.75000000000000 0.06639004149378 -0.23146174989674 0.06603986172744 0.06639004149378 0.06911764705882 0.06639004149378 0.80000000000000 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.05882352941176 0.85000000000000 0.05245901639344 0.71945912837982 0.05255839923979 0.05245901639344 0.05373303167421 0.05245901639344 0.90000000000000 0.04705882352941 1.57872099034926 0.04709697585458 0.04705882352941 0.04864253393665 0.04705882352941 0.95000000000000 0.04244031830239 1.92363114971920 0.04240833151040 0.04244031830239 0.04355203619910 0.04244031830239 1.00000000000000 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154 0.03846153846154
从以上结果可以看到，用三次样条插值和线性分段插值，不会出现多项式插值是出现的Runge现象，插值效果明显提高。进一步说，为了提高插值精度，用三次样条插值和线性分段插值是可以增加插值节点的办法来满足要求，而用多项式插值函数时，节点数的增加必然会使多项式的次数增加，这样会引起数值不稳定，所以说这两种插值要比多项式插值好的多。而且在给定节点数的条件下，三次样条插值的精度要优于线性分段插值，曲线的光滑性也要好一些。
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实验报告四
题目： 多项式最小二乘法
摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过实验的观察和测量给出离散的一些点，再来求出具体的函数解析式。又因为测量误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。最小二乘法是求解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。
前言：（目的和意义）
1. 学习使用最小二成法的原理 2. 了解法方程的特性 数学原理：
对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,…，n)，设函数分布为
my(x)??aj?j(x)
j?0特别的，取?j(x)为多项式
?j(x)?xj (j=0, 1,…，m)
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函
H(a0,a1,?,am)??(fi??aj?j(xi))
i?1j?0nm令
?H?0 (k=0, 1,…，m) ?ak则可以得到法方程
?(?0,?0)(?1,?0)?(?m,?0)??a0??(f,?0)??(?,?)(?,?)?(?,?)??a??(f,?)?11m1??1?1??01??
?????????????????(?,?)(?,?)?(?,?)a(f,?)1mmm??m?m??0m?求该解方程组，则可以得到解a0,a1,?,am，因此可得到数据的最小二乘解
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f(x)??aj?j(x)
j?0m程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其中多项式函数?j?xj写成function的方式，如下
function y=fai(x,j) y=1; for i=1:j y=x.*y; end
写成如上形式即可，下面给出主程序。
多项式最小二乘法源程序
clear
%%%给定测量数据点(s,f) s=[3 4 5 6 7 8 9];
f=[2.01 2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05]; %%%计算给定的数据点的数目 n=length(f);
%%%给定需要拟合的数据的最高次多项式的次数 m=10; %%%程序主体 for k=0:m;
g=zeros(1,m+1); for j=0:m; t=0;
for i=1:n;%计算内积(fai(si),fai(si)) t=t+fai(s(i),j)*fai(s(i),k); end g(j+1)=t; end
A(k+1,:)=g;%法方程的系数矩阵 t=0;
for i=1:n;%计算内积(f(si),fai(si)) t=t+f(i)*fai(s(i),k);
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end b(k+1,1)=t; end
a=A\\b%求出多项式系数 x=[s(1):0.01:s(n)]'; y=0; for i=0:m;
y=y+a(i+1)*fai(x,i); end
plot(x,y)%作出拟合成的多项式的曲线 grid on hold on
plot(s,f,'rx') %在上图中标记给定的点
结果分析和讨论：
例 用最小二乘法处理下面的实验数据.
xi fi 3 2.01 4 2.98 5 3.50 6 5.02 7 5.47 8 6.02 9 7.05 并作出f(x)的近似分布图。
分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为： y1=-0.38643+0.82750x；
y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2；
y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；
分别作出它们的曲线图，图中点划线为y1曲线，实线为y2曲线，虚线为y5曲线。’x’为给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。
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