大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有( ).
（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
2. 设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点； （D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。
14.
设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 25. limsinxx?0(1?3x)? .
6. 已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosx . xdx? ?2?7.
nlim??n(cos2?n?cos2n??cos2n?1n?)? . 12?x2arcsinx?1－11?x2dx?8. 2 .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数y?y(x)由方程
ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 1?x7求10. ?x(1?x7)dx.
)
?x? 1?xe， x?0设f(x)?? 求?f(x)dx．?32??2x?x，0?x?111.
1012. 设函数f(x)连续，，且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
g(x)??f(xt)dtlimf(x)?Ax，A为常数. 求
13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足
y(1)??19的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，
q1?f(x)dx?q?f(x)dx00.
??17. 设函数f(x)在?0,??上连续，且0x?f(x)dx?0，0?f(x)cosxdx?0.
证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提
F(x)?示：设
?f(x)dx0）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
??1cosx2 ()?c6e35. . 6.2x.7. 2. 8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x?y??)coxys(xy)(y? ) e(1?y??ex?y?ycos(xy)y?(x)??x?ye?xcos(xy)
x?0,y?0，y?(0)??1
77x6dx?du 10. 解：u?x 1(1?u)112原式??du??(?)du7u(1?u)7uu?1 1?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12?ln|x7|?ln|1?x7|?C77
11. 解：??301f(x)dx??xedx???3?x100?x102x?x2dx
??xd(?e)???301?(x?1)2dx0?2?x?x2????xe?e?cos?d? (令x?1?sin?)????3?
4
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
x1xt?u???2e3?1
g(x)??f(xt)dt?0x?f(u)du0x (x?0)
g?(x)?xf(x)??f(u)duxx002 (x?0)
g?(0)?limx?0?f(u)dux2?limx?0f(x)A? 2x2
x
limg?(x)?limx?0x?0xf(x)??f(u)dux02?A?AA?22，g?(x)在x?0处连续。
dy2?y?lnxdxx13. 解：
?xdx(e?xdxlnxdx?C)y?e? 11?xlnx?x?Cx?29 3
111y(1)??C,?0y?xlnx?x39 9 ，
四、 解答题（本大题10分）
?2214. 解：由已知且 ，
将此方程关于x求导得y???2y?y?
02特征方程：r?r?2?0
y??2?ydx?yx
解出特征根：r1??1,r2?2.
其通解为
y?C1e?x?C2e2x
代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得
21y?e?x?e2x33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C1?21,C2?33
1y?lnx0?(x?x0)(x,lnx)x0，015. 解：（1）根据题意，先设切点为0切线方程：
1y?xe 由于切线过原点，解出x0?e，从而切线方程为：
1则平面图形面积
A??(ey?ey)dy?01e?12
V1?1?e23
（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1V2???(e?ey)2dy0
6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q1qqV?V1?V2??(5e2?12e?3)
116. 证明：0?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)000q
q1?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0q
f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：
q0
?f(x)dx?q?f(x)dx00 证毕。
x17.
F(x)??f(t)dt,0?x??0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0 由题设，有
?0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx0000????，
F(x)sinxdx?0?有，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即
0F(?)?0
综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在
?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.