浅谈微分方程模型在经济学中的应用
摘要：从实际问题出发，研究如何应用数学工具来分析具体的经济问题，并进而影响决策。
关键字：经济问题；处理决策；数学模型
前言：当今社会，随着经济的全球化和世界金融市场的不断发展，各国越来越意识到在经
济的腾飞中产生的问题的严重性。前不久的英国石油公司在墨西哥湾的原油泄漏，导致附近海域的生态直线下降。最近美国出台的第二轮量化宽松的货币政策引来各国的一直声讨。再比如最近中国股市的疯狂和十一月十二日股市的跳水。各种经济问题的处理，或者决策的产生，都越来越离不开一种工具——数学经济模型。 一、数学经济模型及其重要性
数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。
数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。
二、构建经济数学模型的一般步骤
1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。并对模型进行必要的调整修正。重复前面的建模过程,直到建立出一个经检验符合实际问题的模型为止。一个较好的数学模型是从实际中得来,又能够应用到实际问题中去的。
三、应用实例
如果研究的问题具有动态演化特点，即任一个时刻的状态与前一个时刻的状态有关，则可通过前后状态关系建立数学模型。如果模型是研究状态本身演化特性，称为动态分析模型．
这类模型通常含有未知函数(状态演化函数)的导数或不同 “时点”关系或其累积效果关系．
含未知函数导数的方程称为微分方程；含未知函数两期以上关系的方程称为差分方程；含未知函数累计效应的方程为积分方程．
微分、差分方程模型的建立通常采用微元分析法或前提假设法．
微元分析法是在微小的时间间隔内, 考查函数改变量的关系, 再让时间间隔无限小(微分)或取时间间隔为一个单位(差分)得到方程；最后给出考查初期所处状态, 得到含初始条件的微分 (差分) 方程模型。
微元分析必须建立在正确的科学定律或经济原理之上，才能正确反映问题变化的本质。 如果问题的定律或原理不十分清楚，仅知道某些增减关系，这时只能通过对问题作出一定的假设，根据假设建立方程就是前提假设法．结果要进行检验．
湖水污染问题
某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20年前, 上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3，河水污染浓度达到了0.05 毫克/m3. 环保部门提出该工厂整改， 并拟处罚款。该厂辩称: 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖水污染问题作出分析。 分 析
湖水的污染由河水的污染引起，并且，任意时刻湖水污染程度都与上一个时刻的污染程度及新引起污染有关，有动态特征，建立动态数学模型。 符号：V湖水容量；Q河水流量；t考察问题的时刻。 模型假设
1. 河水是湖水的唯一水源； 2. 湖水容量不变；
3. 河水进入湖中立刻与湖水充分混合； 4. 不考虑湖水河水的自净化作用； 5. 污染物全部溶解在河水、湖水中；
6. 不考虑雨水、蒸发等作用对湖水的影响； 7. 污染物在河水、湖水中分布均匀. 建立模型
设u(t)、v(t)为任一时刻 t 湖水污染浓度和河水污染 取?t?1，得差分方程： 浓度，则在时间间隔?t内湖水污染变化规律为： ut?1?(1?Q/V)ut?v(t)Q/V [u(t??t)?u(t)]V?v(t)Q?t?u(t)M?t(1)
初始条件：u(0)?0,u(20)?0.03,v(0)?0.001,v(20)?0.05在(1)式中两边同除以?t，并令?t?0得微分方程模型：模型求解
Q?du ?[v(t)?u(t)]?duQ? V?dt ?[v?u(t)]?Q? ?t当v(t)保持不变时,即： ?Vu(0)?0 ?u(t)?v(1?eVdt解得： )；?结果分析：(0)?0?u 2.当v?0.05时,代入Q?1011,V?1012,u(t)?0.03 可以解出 1.根据模型的解，显然有 u(t)?v，所以该工厂若一直以 t?9.16 (年) 3.若假设该工厂污染是逐年线性增长，即 v(t)?0.05t/200.001排放,湖水不可能污染。污水处理分析 所以，该工厂所说只是最近疏忽造成污染也是不成立的。代入方程求解得： 某厂拟修建生物治污水池，已知该微生物是依赖于污水中的污 u(t)?0.0025(t?10?10e?0.1t)染物生存，同时消耗分解污染物，试建立数学模型分析如何设计 水池合适？(污水中污染物浓度10－3～10－2克/m3，流量10m3/h,环 代入u?0.03解得 t?20.74 年，时间上吻合较好，因此假设情况的可能性最大。保要求5×10－4克/m3) 问题分析
1. 微生物靠污水生存，而分解污染物，微生物增加，污染物 减少，污染物减少，又降低微生物生存能力，因此，当水池 容积一定时，微生物、污染物含量经一段时间后必然达到稳 定，稳定后污染物、微生物含量决定了污水治理效果。 故，应从微生物、污染物含量出发讨论水池容积与治理效果 关系。
2. 任一时刻微生物、污染物含量显然与前一时刻含量有关，即任 一时刻状态与前一时刻状态有关，故问题是一个动态分析问题。 3. 污染浓度越高，微生物繁殖的就越快，分解掉的污染物速度也 就越快，即单位时间、单位微生物分解污染物的多少与污水浓度 正相关。微生物增加量也与污水浓度正相关。
模型假设：1. 进出水流量保持不变，且从进水到出水经过较长时 间；(即池内微生物和污染物可以达到平衡)
2. 单位时间内，每单位微生物分解掉单位浓度污染物数量为常数 (记为k1)；
3. 单位时间内，每单位微生物在单位浓度污染物中繁殖数量为常 数(记为k2)；
4.单位时间内，每单位微生物中死亡的数量为常数(记为k3)。 符号：V容积；Q流量；a 流进的污染物浓度。 建立模型
设 u(t),v(t)为t时刻池中污染物浓度和微生物浓度，则经过?t 时
间池中污染物、微生物变化关系：这是一个非线性方程, 不易求解析解. 利用数学软件可以求数值解。这时需要通过实验， [u(t??t)?u(t)]V?aQ?t?u(t)Q?t?k1u(t)v(t)V?t先确定几个比例系数。求出数值解，通过作图得变化曲线。实测： k1=0.1,k2=1.26,k3=10 [v(t??t)?v(t)]V?k2v(t)Vu(t)?t?k3v(t)V?t?v(t)Q?t－5 两式都除以V?t，并令?t?0 得微分方程： duQdvQ 微分 (?差分) u方程有许多无法求解析解。这时就需要对解的 (a?)?k1uv； ?(k2u?k3?)v dtVdtV性态进行讨论，其中最主要的就是解的稳定性。 解的稳定性是指当初始条件有微小变化 (解也发生变化) 时 经过一定时间后，系统(解)是否会稳定在某个确定的状态 (不 讨论方法就是在未知函数不变时求得其解y0 (称平衡解)，然 随时间变化) 下。后考查初始条件微小变化时解的变化。如果t??时解 y 都趋dy 对于非线性方程 ?f(y),在 y 点将 f(y) 用微分线性化, 利用特 0向平衡解 y，y称为稳定解；否则称为不稳定; 00dtduQdvQ 方程 ?(a?u)?t?k1uv； ?(k2u?k3?)v 征根知：齐次通解是 Ve 线性组合，特征根实部都为负，则随 t ??, dtdtV函数?0,非齐次解; 若有特征根有正实部,齐次解??, dudv?y0, 解稳定这个水池若按三米深建造，则需占地5000多m2。为了节约土地考虑能否建造多级生物降解中令： ?0,?0 可以解得两个平衡解：非齐次解不趋向 y0, 解不稳定。dt池？ dtk?Q/V(a?u)Q A：u?a,v?0；和 B：u?3,v?Qk2?duik1uV?，分别取(ui?1?ui)u1=5?k代入k1,k2,k3,a,Q×1u10ivi－3，u2=5×10－4(环 ?其中显然解A 不稳定；而解B当dtViv?0即u?a时稳定。?保要求), 解得 V1=1590 m3V2=1447 m3 如此以来大大节 QQ，QQ?dv 即 V??i?(?k2ui?k3? 时，解B稳定。模型二： )vi?vi?1约了占地面积。 uk?kak?kdtVVi2323i?经济增长分析?a，?10b?5,得 V?10代入Q?10,k??01.26,kv/(1.26u*?10?5 )2u30??i?1,2,? 要 u*达到环保要求 5?10?4，需要 V?16129 m3 国民收入通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以 ?其中ui,vi为第 i 级降解池中污染浓度和微生物浓度。增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产,
k?Q/V1(a?u1)Q/V1试建立数学模型分析这种关系。i?2 稳定解：u1?3, v1 ?；k2k1u1问题分析
(u?u2)Q/V2QQ v2?1,u2为(k2u2?k3?)v2?v1?0的解 产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻k1u2V2V2