专题四 解三角形
一、题之源：课本基础知识 1．正弦定理和余弦定理
定正弦定理 理 内容 abc＝＝＝2R(Rsin Asin Bsin C为△ABC外接圆半径) a＝2Rsin_A,b＝2Rsin_B,c＝2Rsin_C； absin A＝,sin B＝, 2R2Rcsin C＝； 2Ra∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C＝a sin Ab2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2caa2＋b2－c2cos C＝ 2aba2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 余弦定理 变形形式 2.三角形中常用的面积公式
1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 2111（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
222（1）△＝aha＝bhb＝
a2sinBsinCb2sinCsinAc2sinAsinB（3）△＝＝＝；
2sin(B?C)2sin(C?A)2sin(A?B)（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） （5）△＝
abc； 4R（6）△＝s(s?a)(s?b)(s?c)；?s?（7）△＝r·s。 3．仰角和俯角
??1?(a?b?c)?； 2?在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
4．方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②,B点的方位角为α)． 5．方向角
相对于某一正方向的角(如图③)．
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°. (3)其他方向角类似． 二、题之本：思想方法技巧
1．已知两边及其中一边的对角解三角形时,要谨防漏解．
2．在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解,注意等式两边的公因式一般不要约掉,而要移项提取公因式,否则有可能漏掉一种形状．
3．要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列,则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C),cosA＝B＋CA
－cos(B＋C),sin＝cos,sin2A＝－sin2(B＋C),cos2A＝cos2(B＋C)等．
224．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型；
(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解．
5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
6.要注意锐角三角形中的隐含条件：任意两内角的和大于
?． 2例：设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a?2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA?sinC的取值范围
【解】（Ⅰ）由a?2bsniA,根据正弦定理得sinA?2sinBsinA,所以sinB?锐角三角形得B?1,由△ABC为2π 6
三、题之变：课本典例改编