离散数学图论复习

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4.设G=是具有n个结点的简单图,若在G中每一对结点度数之和大于等于 ,则在G中存在一条汉密尔顿路.

定理4.2.2 设G=是具有n个结点的简单图,若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1,则在G中存在一条汉密尔顿路. 应该填写:n?1

5.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去

条边后使之变成树.(……边后,可以确定图G的一棵生成树)

由握手定理(定理3.1.1)知道图G有18?2=9 条边,又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”,可以知道: 应该填写:4.

6.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i = . 定理5.2.1 设有正则m叉树,其树叶数为t,分枝数为i,则(m-1)i=t-1. 其中m=5, t=17,由(5-1)i=17-1,得i =4.

应该填写:4

三、判断说明题

1.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路. 分析:先复习欧拉图的判别定理:

定理4.1.1的推论:一个无向图具有一条欧拉回路,当且仅当该图是连通的,并且它的结点度数都是偶数. 解:不正确.

因为题中的图G没有“连通”的条件.

2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.

解:不正确.

因为图G中结点b和c的度数是奇数.

注:这是一个汉密尔顿图,但不是欧拉图,它可以作为单向选择题7解答之后提出的问题的一个解答.

3.设G是一个有7个结点16条边的连通图,则G为平面图.

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分析:定理4.3.3 设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.

利用该定理判断本题. 解:不正确.

因为题中的连通简单平面图有v=7个结点,e=16条边,那么16?3?7-6=15,由定理4.3.3知道,图G不是平面图.

4.设G是一个连通平面图,且有6个结点11条边,则G有7个面.

分析:可以用平面图中的欧拉公式:v-e+r =2来判断,其中v为结点数,e为边数,r为面数.

解:正确.

因为连通平面图G有v=6个结点,e=11条边,那么由欧拉公式计算得:r =2+ 11- 6 = 7个面.

四、计算题

1.设G=,V={ v1,v2,v3,v4,v5},E={ (v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5) },试

(1) 给出G的图形表示; (2) 写出其邻接矩阵; (3) 求出每个结点的度数; (4) 画出其补图的图形. 解:(1) 因为V={ v1,v2,v3,v4,v5},

v1 ?

v2 ? ? v3

? v4

? v5

E={ (v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5), (v4,v5) },所以G的图形表示为:

(2) 分析:本题给定的简单图是无向图, 因此邻接矩阵为对称的.即当结点vi与vj相 邻时,结点vj与vi也相邻,所以连接结点vi 与vj的一条边在邻接矩阵的第i行第j列处和 第j行第i列处各写一个1;当结点vi与vj没

有边连接时,邻接矩阵的第i行第j列处和第j行第i列处各写一个0.

?00100??00110???邻接矩阵: ?11011?

??01101????00110??(3) 由G的图形可知,v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2

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(4) 由关于补图的定义3.1.9可知,先画出完全图(见图1),然后去掉原图,可得补图(见图2)如下:

v1

?

图1 图2 注意:补图中,如果没有标出结点v3,则是错的.

2.图G=,其中V={ a, b, c, d, e},E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b,

v2

? ? v3

? v4

? v5

v2 ?

? v3

? v4

v1 ? ? v5

e), (c, e), (c, d), (d, e) },对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试

(1)画出G的图形; (2)写出G的邻接矩阵; (3)求出G权最小的生成树及其权值.

解 (1)因为V={ a, b, c, d, e},E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) },所以G的图形表示为:

(2)由图得图G的邻接矩阵为:

?0??1A??1??0?1?1101??0011?0011?

?1101?1110??(3)图G有5个结点,其生成树有4条边,用Kruskal算法(避圈法)求其权最小的生成树T:

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第1步,取具最小权1的边(a, c);

第2步,取剩余边中具最小权1的边(c, e);

第3步,取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(a, b); 第4步,取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(b, d). 所求最小生成树T如右下图,其权为W(T)?1?1?2?3?7.

注意:在用避圈法求最小的生成树的关键是:“取图中权数最小的边,且与前面取到的边不构成圈”,很多学生只注意到取权数最小的边了,而忽略了“不构成圈”的要求.

如果结点数少一个,边数也少些,大家应该会做了吧.

3.设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优二叉树的权.

解:方法(Huffman):从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2, 3为最低层结点,并从权数中删去,再添上他们的和数,即5, 5, 7, 17, 31;

再从5, 5, 7, 17, 31中选5, 5为倒数第2层结点,并从 上述数列中删去,再添上他们的和数,即7, 10, 17, 31; 然后,从7, 10, 17, 31中选7, 10为倒数第3层结点, 并从上述数列中删去,再添上他们的和数,即17, 17, 31; ……

最优二叉树如右图所示.

最优二叉树权值为:2?5+3?5+5?4+7?3+17?2+31?1 =10+15+20+21+34+31=131

讲评:作业中最优二叉树往往都能画对了,但计算总权值时

可能会把有些权的层数计算错了,导致总权值计算错误,大家一定要细心. 注意:这3个计算题大家一定要掌握.

65 ? ? 34 ? 31

? 17 ? 17

? 10 ? 7 5 ? ?

5

? ? 2 3

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五、证明题

证明题同学一般都做不好,原因是对证明题方法没有掌握,也是对一些概念不清楚所造成的.因此,希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法,并通过作业逐步掌握做证明题的方法.

1.设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于3的奇数.证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等.

证明:设G??V,E?,G??V,E??.则E?是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的.所以对于任意结点u?V,u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数.由于n是大于等于3的奇数,从而Kn的每个结点都是偶数度的(n?1 (?2)度),于是若u?V在G中是奇数度结点,则它在G中也是奇数度结点.故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等.

2.设连通图G有k个奇数度的结点,证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图.

证明:由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k是偶数. 又根据定理4.1.1的推论,图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图.

故最少要加

k条边才能2k条边到图G才能使其成为欧拉图. 2精彩文档

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