线性代数试题套卷及答案

(线性代数) (

A

卷)

专业年级: 学号: 姓名: 得分题 号 评卷人一 得 分 二 三 总 分 总分人 复分人 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设Am?n为实矩阵,则线性方程组Ax?0只有零解是矩阵(ATA)为正定矩阵的

(A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件。 2.已知?1,?2,?1,?2,?3为四维列向量组,且行列式 A??1,?2,?3,?1??4,

B??1,?2,?3,?2??1,则行列式 A?B? (A) 40; (B) ?16; (C) ?3; (D) ?40。

?2,?,?s(s?2)线性无关,且可由向量组?1,?2,?,?s线 3.设向量组?1,性表示,则以下结论中不能成立的是

?2,?,?s线性无关; (A) 向量组?1,?2,?,?s线性相关; (B) 对任一个?j,向量组?j,?2,?,?s线性无关; (C) 存在一个?j,向量组?j,?2,?,?s与向量组?1,?2,?,?s等价。 (D) 向量组?1,4.对于n元齐次线性方程组Ax?0,以下命题中,正确的是

(A) 若A的列向量组线性无关,则Ax?0有非零解; (B) 若A的行向量组线性无关,则Ax?0有非零解; (C) 若A的列向量组线性相关,则Ax?0有非零解; (D) 若A的行向量组线性相关,则Ax?0有非零解。

5.设A为n阶非奇异矩阵(n?2),A?为A的伴随矩阵,则 (A) (A?1)??|A|?1A; (B) (A?1)??|A|A;

(C) (A?1)??|A|?1A?1; (D) (A?1)??|A|A?1。 得分 评卷人 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

?2?12??1?????3? 的对应特征值?的6.列向量???1? 是矩阵A??5a???1?????1b?2??一个特征向量.

则?= ,a= ,b= 。

7.设n阶向量??(x,0,?,0,x)T,x?0;矩阵 A?E???T, 且 A?1?E?1x??T,则x?___ ______。

8.已知实二次型f(x2?4x221,x2,x3)?x12?2x3?2ax1x2?2x2x3正定,则常数a的

取值范围为________________。

9.设矩阵A?(aij)3?3,Aij是|A|中元素aij的代数余子式,aij?Aij,

a11?2a12?3a13,已知a11?0,则a11? 。

?10.设A??12?2??212???a????,???1?,已知向量A?与?线性相关,则a= 。?304????1??得分 评卷人 三、分析计算题(本大题共5小题,每小题10分,共50分) 11

(1)

程f(x)?0的根,其22?13f(x)?4x2?5?26?32?1x2?1;

3?21?2x1x2?xn?1y?xnx1x2?y?xn?1xn(2) 计算n阶行列式D??????。

x1y?x2?xn?1xny?x1x2?xn?1xn12.设实向量???a1a2a?T3,其中a1?0,?T??3,矩阵A?E???T

(1)试说明矩阵A能相似于对角阵; (2) 求可逆矩阵P,使P?1AP为对角阵, 并写出此对角阵; (3) 求行列式|A?E|。

x3?1?kx1?(k?1)x2??kx2?x3?2,试讨论: 13.已知线性方程组 ?kx1??2kx?2(k?1)x?kx?223?1(1) k取何值时,方程组无解; (2) k取何值时,方程有唯一解,并求出其解; (3) k取何值时,方程有无穷多解,并求出其通解。

22x2,x3)?2x12?5x2?4x1x2?5x3?4x1x3?8x2x3 , 14. 设实二次型 f(x1,求:正交变换x?Qy,将f化为标准型。

?1??1??1???????3????1??115. 设R的基为 1??,2??,3?0? 。

?0??1??0????????2,?3构造R3的一个标准正交基 ?1,?2,?3; (1) 试由?1,?2,?3到?1,?2,?3 的过渡矩阵P; (2) 求由基 ?1,?2,?3下的坐标。 (3) 已知向量???1??2??3,求向量?在基?1,线性代数 期末试卷(A)参考答案

一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)

6二、填空题 6.-1,-3,0; 7. ?1; 8. |a|?7/2; 9.; 10. -1。

7三、计算题

11.(1)f(x)??5(x2?1)(x2?9),x?1,-1,3,-3; (4分)

(2) D?(?1)n(n?1)2(y??xi)yn?1。 (10分)

i?1n12.(1) A为实对称矩阵,所以相似于对角阵。 (2分) (2) 因为A??(E???T)?????(?T?)??2?,所以?1??2是A的特征值。 又秩r(??T)?1,|E?A|?|??T|?0,所以?2??3?1是A的另两个特征值。 设??(x1,x2,x3)T为A对应?2??3?1的特征向量,则由

(?,?)?a1x1?a2x2?a3x3?0,得A对应?2??3?1的线性无关的特征向量

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