（线性代数） （
√
A
√
卷）
专业年级： 学号： 姓名： 得分题 号 评卷人一 得 分 二 三 总 分 总分人 复分人 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设Am?n为实矩阵,则线性方程组Ax?0只有零解是矩阵(ATA)为正定矩阵的
(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。 2．已知?1,?2,?1,?2,?3为四维列向量组，且行列式 A??1,?2,?3,?1??4，
B??1,?2,?3,?2??1，则行列式 A?B? (A) 40； (B) ?16； (C) ?3； (D) ?40。
?2，?，?s(s?2)线性无关，且可由向量组?1，?2，?，?s线 3．设向量组?1，性表示，则以下结论中不能成立的是
?2，?，?s线性无关； (A) 向量组?1，?2，?，?s线性相关； (B) 对任一个?j，向量组?j，?2，?，?s线性无关； (C) 存在一个?j，向量组?j，?2，?，?s与向量组?1，?2，?，?s等价。 (D) 向量组?1，4．对于n元齐次线性方程组Ax?0，以下命题中，正确的是
(A) 若A的列向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (B) 若A的行向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (C) 若A的列向量组线性相关，则Ax?0有非零解； (D) 若A的行向量组线性相关，则Ax?0有非零解。
5．设A为n阶非奇异矩阵(n?2)，A?为A的伴随矩阵，则 (A) (A?1)??|A|?1A； (B) (A?1)??|A|A；
(C) (A?1)??|A|?1A?1； (D) (A?1)??|A|A?1。 得分 评卷人 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
?2?12??1?????3? 的对应特征值?的6．列向量???1? 是矩阵A??5a???1?????1b?2??一个特征向量.
则?＝ ，a＝ ，b＝ 。
7．设n阶向量??(x，0，?，0，x)T，x?0；矩阵 A?E???T, 且 A?1?E?1x??T，则x?___ ______。
8．已知实二次型f(x2?4x221,x2,x3)?x12?2x3?2ax1x2?2x2x3正定,则常数a的
取值范围为________________。
9．设矩阵A?(aij)3?3，Aij是|A|中元素aij的代数余子式，aij?Aij，
a11?2a12?3a13，已知a11?0，则a11? 。
?10．设A??12?2??212???a????，???1?，已知向量A?与?线性相关，则a＝ 。?304????1??得分 评卷人 三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分) 11
．
(1)
求
方
程f(x)?0的根，其22?13f(x)?4x2?5?26?32?1x2?1；
3?21?2x1x2?xn?1y?xnx1x2?y?xn?1xn(2) 计算n阶行列式D??????。
x1y?x2?xn?1xny?x1x2?xn?1xn12．设实向量???a1a2a?T3，其中a1?0，?T??3，矩阵A?E???T
中
(1)试说明矩阵A能相似于对角阵； (2) 求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵， 并写出此对角阵； (3) 求行列式|A?E|。
x3?1?kx1?(k?1)x2??kx2?x3?2，试讨论： 13．已知线性方程组 ?kx1??2kx?2(k?1)x?kx?223?1(1) k取何值时，方程组无解； (2) k取何值时,方程有唯一解，并求出其解； (3) k取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
22x2，x3)?2x12?5x2?4x1x2?5x3?4x1x3?8x2x3 ， 14. 设实二次型 f(x1，求：正交变换x?Qy，将f化为标准型。
?1??1??1???????3????1??115. 设R的基为 1??，2??，3?0? 。
?0??1??0????????2，?3构造R3的一个标准正交基 ?1，?2，?3； (1) 试由?1，?2，?3到?1，?2，?3 的过渡矩阵P； (2) 求由基 ?1，?2，?3下的坐标。 (3) 已知向量???1??2??3，求向量?在基?1，线性代数 期末试卷（A）参考答案
一、选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)
6二、填空题 6．-1,-3,0； 7. ?1； 8. |a|?7/2； 9．； 10. －1。
7三、计算题
11．（1）f(x)??5(x2?1)(x2?9)，x?1，－1，3，－3； （4分）
（2） D?(?1)n(n?1)2(y??xi)yn?1。 （10分）
i?1n12．(1) A为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (2分) (2) 因为A??(E???T)?????(?T?)??2?，所以?1??2是A的特征值。 又秩r(??T)?1，|E?A|?|??T|?0，所以?2??3?1是A的另两个特征值。 设??(x1,x2,x3)T为A对应?2??3?1的特征向量，则由
(?,?)?a1x1?a2x2?a3x3?0，得A对应?2??3?1的线性无关的特征向量