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因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应
用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
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（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；
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(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；
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(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；
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(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)． 下面再补充两个常用的公式：
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(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
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(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca， 则?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：am?an?bm?bn
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例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x?y?ax?ay
例4、分解因式：a?2ab?b?c
练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz
22综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b
22（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a
222222222222223223432（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by
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（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1
（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a)
2222a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)?2abc（11）（12）a?b?c?3abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
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思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.
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例5、分解因式：x?5x?6
例6、分解因式：x?7x?6
练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
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