第一章典型例题
例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是
＝0.0005, 故至少要保
留小数点后三位才可以。ln20.693 第二章典型例题
例1 用顺序消去法解线性方程组
??x??x???x???????x???x??x??? ?x??x??x???????解 顺序消元
4?1?4?1??214?1?r2?r1?(?3/2)?21?212)?r3?r1?(?1/??r3?r2?(?3)?? [A?b]?????3214??????00.5?55.5???????00.5?55.5?????124?1???01.52?0.5???0017?17??于是有同解方程组
?2x1?x2?4x3??1??0.5x2?5x3?5.5 ?17x3??17?回代得解
x3=－1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T
例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组
?x???x???x?????x??x??x??? ??x??x?x??????解 建立迭代格式
(k?1)(k)(k)?x1??2x2?2x3?1??(k?1)(k)(k)??x1?x3?3(k=1,2,3,…) ?x2?(k?1)(k)(k)??2x1?2x2?5??x3
第1次迭代,k=0
X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T
第2次迭代，k=1
(2)?x1??2?3?2?5?1?5??(2) ?x2??1?5?3??3?(2)??x3??2?1?2?3?5??3X(2)＝(5,－3,－3)T
第3次迭代，k=2
(3)?x1??2?(?3)?2?(?3)?1?1??(3) ?x2??5?(?3)?3?1?(2)??x3??2?5?2?(?3)?5?1
X(3)＝(1,1,1)T
第4次迭代，k=3
(2)?x1??2?1?2?1?1?1??(2) ?x2??1?1?3?1?(2)??x3??2?1?2?1?5?1 X(4)＝(1,1,1)T
例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛
德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为
?12?2?? A＝?111????221??
于是
?100?? D＝?010????001?? D－1＝D ?000?~? L??100????220?? ?02?2?~? U??001????000??雅可比迭代矩阵为
?100??02?2??02?2?~~??101????101? B0＝?D?1(L?U)???010?????????001????220???220??2?2?20?I?B0?1?1?1???122?22??2??[?(??2)?2(??1)]?2[??2?2(??1))??3?0?
得到矩阵B0的特征根?1,2,3?0，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为
~?1~)U G＝－(D?L
00??02?2??100??02?2??1?02?2???001?????110??001????0?23? ＝－?110??????????????221????000???0?21????000???00?2???1
2?2?I?G?0??23??(??2)2?0
00??21
?解得特征根为迭代发散。
=0，
2,3
=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔
例5 填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
1
?x????x??x??????x???x???x??? ??x??x?????作第次消元后的第2，3个方程分别
为 。
答案：??x2?0.5x3??1.5
?2x?1.5x?3.523?