第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 理
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 投影 几何意义
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|或|a|＝a·a.
2
a·b(4)cos θ＝.
|a||b|
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y或|a|＝x＋y.
22222
→
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
a·bx1x2＋y1y2
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 222
|a||b|x1＋y1 x2＋y2
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2
－b2
. (2)(a＋b)2
＝a2
＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2
＝a2
－2a·b＋b2
.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，π
2
]．( × )
1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于( ) A．－12 B．6 C．－6 D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于( A.6 B.5 C.3 D.2 答案 C
) ) 2
解析 由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝由此求得|b|＝3，故选C.
3222
|b|,4a－4a·b＋b＝1，即4－23|b|＋b＝1，2
→
3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，→
AD＝(2,1)，则AD·AC等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形， →→→
∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． →→
∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.
4．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________． 答案
π 6
→→
解析 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝2
|a||b|1＋3
， 2
π
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 6
a·b1×3＋1×33
2
·1＋
2
3
＝2
23
＝4
5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________. 答案
10
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0， ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a＝5，b＝5， ∴|a＋b|＝2
2
a＋b2
＝a＋2a·b＋b
22
＝5＋5＝10.
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中→→
点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 5A．－ 8
1B. 8
3