《数学建模》练习题
一、填空题：
1、设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 19.44 . 2、设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 20.578 . 3、若银行的年利率是x%，则需要时间 ㏑2/㏑（1+x） ，存入的钱才可翻番. 4、一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 19 天，2090件 .
5、设某种商品的需求量函数是Q(t)??25p(t)?1200,而供给量函数是
G(t)?35p(t?1)?3600，其中p(t)为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是
80 .
6、一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f和d列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是 Sns?A(1?RR)[(1?R)?1]。
n7、有人观察到鱼尾每摆动一次，鱼所移动的距离几乎与鱼身的长度相等，则鱼尾摆动的次数T（次/秒）、鱼身的长度L和它的速度V的关系式为 V=TL 。 8、已知行星的质量与它的密度和它的半径的立方成正比.若某行星的直径是地球直径的d倍，且它的平均密度是地球的s倍，则此行星质量是地球的 ddds 倍.
9、在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有m1个顾客，每人都买了n1件商品，队2有m2个顾客，每人都买了n2件商品，假设每个人付款需p秒，而扫描每件商品需t秒秒，则加入较快队1的条件是 m1?n1?m2?n2 .
10、在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N将和下列因素有关： （1） 参加展览会的人数n；（2）气温T超过10C； （3）冰淇淋的售价p.
由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为. Q? 11、若y?z,*?2cbRcs,T?*2cbcsR
z?x,则y与x的函数关系是 y=kx .
12、设S表示挣的钱数，x表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 P(x)?
Mx[1?(1?xa221)2]ex2. .
二、分析判断题：
1、考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个。
2、有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。解：1）水的温度足够洗掉油腻，2）水的温度适合手的进入其中，3）洗涤过程中水的温度在逐渐变凉，4）多长时间凉得不能洗干净。
3、要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种。 解：1）全校选修该课程的具体人数，2）这些人分布在那些班级，3）上选修课与正常教学是否有冲突，4）上选修课的老师能不能到位，5）每周多少节选修课合适。
4、假设某个数学模型建成为如下形式： P(x)?Mx[1?(1?xa221)2]ex2.
试在适当的假设下将这个模型进行简化.
5、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。
解：由题意可知，下一年病人数=当年患者数的一半+新患者 令Xn为从2004年起计的n年后患者的人数，则
Xn+1=0.5Xn+1000 且Xo=1200
由此可以算出从2005年起计的n年后患者的人数，则 X5=1975人
显然，这也是一阶线性常系数差方程，且Xn的值会趋向某一定值L，可求出L=2000。说明无论多少年过去，患者人数只能趋向2000，但不会达到2000人。 三、计算题：
某铝合金加工单位要加工一批成套窗料，每套窗料含有2.2(m)和1.5(m)长度的料各两根，总计要加工20套，所用原料的长度均为4.6(m),试建立整数规划模型以给出一个截料方案，使得所用原料最少？
解：模型问题分析
要求材料最省是指每根成料被裁后余料最短，为此不妨给出各种方案，再进行混合，从中选取最佳组合，方案如下表 方案 长度 2.2m长
方案1 方案2 方案3 0 1 2 1.5m长 料头长 3 0.1 1 0.9 0 0.2 模型假设 1、套裁时为考虑裁剪损失等其它因素
2、假定如下变量。按方案1需原料X1根。方案2需原料X2根。方案3需原料X3根。 模型建立
由假设2。总料头长 y=0.1x1+0.9x2+0.2x3
目标是求其最小值。又由配套要求应有0x1+x2+2x3=40 3x1+x2+0x3=40
于是得到套裁裁问题的数学模型 min y=0.1x1+0.9x2+0.2x3 X2+2x3=40
3x1+x2=40 x1,x2,x3 ? N
模型求解：x1=40/3，x3=20。因为x1 ? N 。便有最佳方案。按方案1截14根，按方案3截20根。方案2不予考虑。总计需34根原料，料头总长为5.4m 四、综合应用题：
1、试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题。
解：依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置。
为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时(角度??0，四个桌脚点 A轴上。旋转角度? 后，点A、B 、C 、D 中 A、C 位于X轴上，则 B、B 、C 、D变到点A'、B' 、C' 、D'
、D 位于 Y（图 1-5），
显然，随着?的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变。注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同时着地而BD点不同时着地或B可。
A、C 两脚与地面距离之和为f???，B、
、D点同时着地，而 A、C 点不同时着地，故只要设两个距离函数即
、D两脚与地面距离之和为 g???，且作为距
离函数的 f???，g??? 均为非负函数。
由假设 4， f???与 g???均为连续函数。而由假设 3，对任一角度 ?，恒有 f???=0
而 g???≥0 或 g???=0而 f???≥0，即对 ??,f???g???=0 成立。又为证明存在角度?0，
使 g??0?=0, f??0?≥0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置 （?=0），或，f?0?=0，g?0?>0 或 f?0?>0，g?0?=0 ，而旋转 90 度后，两组条件恰好交换。如此，方桌通过旋转
改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：
已知f??? ,g???是 ?的连续函数，对任意 ?，f???g???=0 且f?0?=0 ??g?0?>0,f??2???>0时g????2??=0。 ?时时
??? 求证：存在?0?0,，使f??0? =g??0?=0。
?2???这就是方桌问题的数学模型。易见只需引进一个变量 ?及其一元函数f???，g???，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来。从而形成所需要的数学模型。
2、试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型。
提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指课程的第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型。 解：确定型且不允许缺货的存储模型公式：Q?*2cbRcs,T?*2cbcsR，其中R是平均
每天的销售量，cb为一次进货手续费，cs为单位商品存储费（元/天）；而Q*,T*分别为一次进货量和相邻两次进货的时间间隔.
3、某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若
打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降
至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决.
问题分析：安全线以下并不意味着水位高度不存在 模型假设：根据问题分析假设 1、设安全线以下水位高度为0。 2、在泄洪前水位高度为h 3、每个泄洪闸泄洪量均为a 4、水流进的速度为常数v
模型建立。设需x个泄洪闸才能在30个小时水位降至安全线，则ax·10=10(h。+10v) 又a·10·10=30(h+2v)
a·2·4=2(h。+4v)
即得问题的数学模型为 ax·10=10(h。+10v)
a·10·10=30(h+2v) a·2·4=2(h。+4v) 模型求解得 a=2v h。=4v
从而得到 x=5即5小时水位才能降至安全线以下。
4、在比较寒冷的北方城镇，双层玻璃密封窗使用的十分普遍.这种窗户上的玻璃是双层的，两层玻璃中间有一定空隙，利用橡胶制品将中间的空气与外界隔离开制成.我们已经通过建立热传导模型证明了：这种窗户保暖效果比过去沿用多年的单层玻璃窗要好，试建立数学模型以描述双层玻璃密封窗对于高热的南方的防热功能。
（注：以上题目均要求使用五步建模法作出）
假设单层窗厚度为2d,双层窗厚度也为2 d，但分为两个厚度为d的部分如图，两层窗中有宽度为l
的不流动空气
如图。设双层玻璃的外侧温度为Ta。外层玻璃内侧温度为Tb。常数T1、T2。如假设2，并设玻璃的热传导系数k1(?0)，空气的热传导系数k２(?0)，则有公式得双层玻璃与一层空气的热传导值为
Q=k1(T1-Ta)/d=k1(Tb- T2)/d=k2(Ta-Tb)/l
为与单层玻璃做比较，消去Ta、Tb 得Ｑ＝k1(T1-T２)/d（A+2） ① 而A=lk1/dk2 又单层窗的热传导值为Q。=k1(T1-T2)/2d ② 故①、②即为用于比较分析所需的数学模型。
二
一、填空题：
1、一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是（该图为连通图且奇点个数为0或2 ）. 2、如图是一个邮路，邮递员从邮局A出发走遍所有
长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 A 均为1km，纵向均为2km，则他至少要走（ 22 ）km..
3、设某种物资有两个产地A1,A2，其产量分别为10、20，两个销地B1,B2的销量相等均为15。如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有优运输方案不惟一；总运费均相等 两个特点。
4、设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若人口增长率是常数r，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为
dxdt?rx,x(0)?x0?x(t)?x0e; .
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