解析几何中的定值定点问题（一）
一、定点问题
3x2y2【例1】．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
2ab与直线x?y?2?0相切． ⑴求椭圆C的方程；
⑵设P(4,0)，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．
2c3c2a2?b23222解：⑴由题意知e??，所以e?2?，即，又因为b??1，所以a?4b?a2aa241?1x222a?4,b?1，故椭圆C的方程为C：?y2?1．
4⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y?k(x?4) ① ?y?k(x?4)?联立?x2消去y得：(4k2?1)x2?32k2x?4(16k2?1)?0， 2??y?1?4由??(32k2)2?4(4k2?1)(64k2?4)?0得12k2?1?0， 又k?0不合题意，
所以直线PN的斜率的取值范围是?33． ?k?0或0?k?66y2?y1(x?x2)， x2?x1⑶设点N(x1,y1),E(x2,y2)，则M(x1,?y1)，直线ME的方程为y?y2?令y?0，得x?x2?2xx?4(x1?x2)y2(x2?x1)，将y1?k(x1?4),y2?k(x2?4)代入整理，得x?12． ②
x1?x2?8y2?y132k264k2?4由得①x1?x2?2代入②整理，得x?1， ,x1x2?4k?14k2?1所以直线ME与x轴相交于定点(1,0)．
【针对性练习1】 在直角坐标系xOy中，点M到点F1?3,0，F2???3,0的距离之和是4，点M的轨
?迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l:y?kx?b与轨迹C交于不同的两点P和Q． ⑴求轨迹C的方程；
⑵当AP?AQ?0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．
解：⑴∵点M到?3,0，3,0的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为23????x2的椭圆，其方程为?y2?1．
4
1
yPOQx
⑵将y?kx?b，代入曲线C的方程，整理得(1?4k2)x2?82kx?4?0 ，因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，所以??64k2b2?4(1?4k2)(4b2?4)?16(4k2?b2?1)?0 ① 设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则x1?x2??82k4， ② xx?121?4k21?4k2且y1?y2?(kx1?b)(kx2?b)?(k2x1x2)?kb(x1?x2)?b2，显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A??2,0?，所以AP??x1?2,y1?，AQ??x2?2,y2?．由AP?AQ?0，得(x1?2)(x2?2)?y1y2?0．
6将②、③代入上式，整理得12k2?16kb?5b2?0．所以(2k?b)?(6k?5b)?0，即b?2k或b?k．经检验，
5都符合条件①，当b?2k时，直线l的方程为y?kx?2k．显然，此时直线l经过定点??2,0?点．即直线l65?6?经过点A，与题意不符．当b?k时，直线l的方程为y?kx?k?k?x??．
56?5?6?6?显然，此时直线l经过定点??,0?点，且不过点A．综上，k与b的关系是：b?k，且直线l经过定点
5?5??6???,0?点． ?5?x2y2??1的左、右顶点为A、B，右焦点【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95为F。设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、
N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0。
（1）设动点P满足PF?PB?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?221，求点T的坐标； 3（3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
22由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?22229。 22
故所求点P的轨迹为直线x?92。 （2）将x11?2,x2?3分别代入椭圆方程，以及y,y51201?02?0得：M（2，3）、N（3，?9） 直线MTA方程为：y?0x?315?，即y?x?1， ?02?333直线NTB 方程为：y?0x?3，即y?5x?5。?20?9?0162 3?3?x?7联立方程组，解得：???10，
?y?3所以点T的坐标为(7,103)。 （3）点T的坐标为(9,m)
直线MTA方程为：
y?0x?3m?0?9?3，即y?m12(x?3)，
直线NTB 方程为：y?0x?3m?0?9?3，即y?m6(x?3)。 分别与椭圆x2y29?5?1联立方程组，同时考虑到x1??3,x2?3， 解得：M(3(80?m2)80?m2,40m80?m2)、N(3(m2?20)20?m2,?20m20?m2)。 y?20m3(m2?20)（方法一）当x1?x2时，直线MN方程为：40m20?m2x?20m?20?m23(80?m2)3(m2 80?m2??20)20?m280?m2?20?m2 令y?0，解得：x?1。此时必过点D（1，0）；
当x1?x2时，直线MN方程为：x?1，与x轴交点为D（1，0）。 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
240?3m23m2（方法二）若x?x?6012，则由80?m2?20?m2及m?0，得m?210， 此时直线MN的方程为x?1，过点D（1，0）。
40m若x1?x2，则m?210，直线MD的斜率k?80?m210mMD240?3m2?40?2， 80?m2?1m
3
直线ND的斜率kND?20m?m2?10m，得k?k，所以直线MN过D点。 ?20MDND3m2?6040?m2?120?m2因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y?kx?m?k?0?与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．
解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则
?2c?2,??x2y2?a?2,??1． …… 4分 ∴ 椭圆C的标准方程为 ?2b?23, 解得 ?43??b?3,?a2?b2?c2,?22?xy?（Ⅱ）由方程组?4?3?1 消去y，得
??y?kx?m 3?4k2x2?8kmx?4m2?12?0． …… 6分 由题意△??8km??43?4k22??2?2??4m2?12??0，
整理得：3?4k?m?0 ① ………7分 设M?x1,y1?、N?x2,y2?，则
4m2?128km， x1x2? ． ……… 8分 x1?x2??223?4k3?4k由已知，AM?AN， 且椭圆的右顶点为A(2,0)， ∴
?x1?2??x2?2??y1y2?0．
…… 10分
即 1?k2x1x2??km?2??x1?x2??m2?4?0，
??4m2?12?8km?km?2??m2?4?0， 也即 ?1?k????223?4k3?4k2整理得7m?16mk?4k?0．解得m??2k 或 m??222k，均满足① ……… 11分 7当m??2k时，直线l的方程为 y?kx?2k，过定点(2,0)，不符合题意舍去；
当m??
2?2k2?时，直线l的方程为 y?k?x??，过定点(,0)，
7?77?4